グリーンの公式について質問です

質問

グリーンの公式について質問です

(-y dx + x dy)/(x^2 + y^2)　という式を、単位円を反時計回りに1周する閉曲線で線積分する

という問題を
1)定義にしたがって
2)グリーンの公式をつかって

の2通りで計算したとき
1)x=cost,y=sint (0<=t<=2Pi)とおいて計算　－＞　2Pi
2)公式を用いて計算　－＞　0

この値の違いについて、理由を教えてください。

回答No.1

Anti-Giants

質問者様は変数変換を間違ってしまっています。

　問題文では単位円を「反時計回り」としているのに、x=cos(t),y=sin(t)では「時計回り」になってしまいます。定義に従って計算するのであれば、x=cos(t),y=-sin(t)とyの方にマイナスがつくはずです。そうすれば、どちらの計算結果も0となります。

　ちなみに、(-ydx+xdy)/(x^2+y^2)は奇関数なので、単位円のように対称な集合上で積分したら積分値は0になります。

お礼

ご回答ありがとうございます

変数変換は正しいような気がするのですが・・・
(x,y)=(cos(t),sin(t))とおいて、
t=0 -> (x,y)=(1,0)
t=Pi/2 -> (x,y)=(0,1)
t=Pi -> (x,y)=(-1,0)
・
・
・

また、(x,y)=(cos(t),-sin(t))とおいて計算すると、
dx=-sin(t)dt
dy=-cos(t)dt より

分子) = -(-sin(t)*(-sin(t)dt)) + cos(t)*(-cos(t)dt) = -1
分母) = 1

となって、結果-2Pi
0となりません・・・

計算間違いでしょうか？

どなたか回答をよろしくお願いします
勉強不足で申し訳ありません