微分の問題

質問

I=[a,b]上の可積分関数をf(x)とおく。I上の関数F(x)は有限個の点を除いて微分可能で
F'(x)=f(x)を満たすとする。この時、以下が成立することを示せ。

∫[b,a]f(x)dx=F(b)-F(a)

回答No.1

tmppassenger

問題の条件では明らかに反例があります。
例えば f(x) = 0, F(x) = [x] (ガウス記号), a = 0, b = 1000 とします。

fはI=[a,b]上で可積分です。F(x)はxが整数となる点（I上では有限個しかない）以外では微分可能で、かつその点で F' = fを明らかに満たしますが、
∫[b,a]f(x)dx = 0 ≠ 1000 = F(b) - F(a)
となって成立しません。