プラレール（トーマス）で、モータは何両目につけると駆動効率が良くなるの

質問

プラレール（トーマス）で、モータは何両目につけると駆動効率が良くなるのか？

タカラトミーのプラレールには種々の車両がある。トーマスは3両編成であるが、1両目にモータと乾電池が入っている。一方、ゴードンは3両編成であるが、1両目にモータ、2両目に乾電池が入っている。各々を質点系としてモデル化し、いずれが駆動に有利か議論せよ。ちなみに、車両は軽くできており、質量の大部分は乾電池とモータが担っている。

という問題なのですが、さっぱり分かりません。

車両を引っ張るか、車両を押すかによって効率が変わるんですか？

よろしくお願いします。

回答No.1

drmuraberg · ベストアンサー

この質問ではトーマスもゴードンも一両目が機関車で、
トーマスは機関車にモータと乾電池を積んでいて、
ゴードンは機関車にモータだけを積んでいて、牽引される
２両目に乾電池が積まれていると理解します。
つまり、両方とも先頭の機関車が残り２両を引いている訳です。

この場合、次のような回答が可能です。
モータの重量をｍ１、乾電池の重量をｍ２とし、
第１両目とレールの摩擦係数をｆ１、
第２両目とレールの摩擦係数をｆ２とします。

連結された、総重量ｍ１＋ｍ２の列車が速度ｖで動くためには
摩擦力以上の力が必要です。
トーマスでは　（ｍ１＋ｍ２）ｄｖ／ｄｔ＞＝ｆ１（ｍ１＋ｍ２）
ゴードンでは　（ｍ１＋ｍ２）ｄｖ／ｄｔ＞＝ｆ１＊ｍ１＋ｆ２＊ｍ２
となります。（ｄｖ／ｄｔは加速度。）

仮にｆ１＝ｆ２＝ｆとすると
ｆ１（ｍ１＋ｍ２）＝ｆ（ｍ１＋ｍ２）
ｆ１＊ｍ１＋ｆ２＊ｍ２＝ｆ（ｍ１＋ｍ２）　で
トーマスもゴードンも同じです。

しかし列車では、機関車は滑り摩擦で動き、引かれる車両は
転がり摩擦で動きます。つまりｆ１＞ｆ２なのです。
滑り摩擦係数は転がり摩擦より一桁大きいと言われていますから、
試しにｆ１＝１０ｆ２と置いてみます。
そうすると、
トーマスの右辺は　１０ｆ２（ｍ１＋ｍ２）
ゴードンの右辺は　１０ｆ２（ｍ１＋ｍ２／１０）となります。

ｍ１＋ｍ２＞ｍ１＋ｍ２／１０ですから、トーマスの方が大きな
力を必要とする。つまり不利です。

（摩擦力の差が機関車がそれより遥かに重い貨車を引くことが
できる理由です。）
これ以外の考え方も有るかも知れません、楽しい課題です。

補足

トーマスとゴードンの各車両ごとに運動方程式を立て、それら3つの式を連立させ加速度について解き、トーマスとゴードンの加速度どちらが大きか、という問題でした。

例えばモータの質量をm1、電池をm2、車両をm、車両1と車両2の張力をT1、車両2と車両3の張力をT2とすると、トーマスは
１、(m+m1+m2){(d^2)x/d(t^2)}=μ(m+m1+m2)g-T1
２、m{(d^2)x/d(t^2)}=T1-T2
３、{(d^2)x/d(t^2)}=T2
同じくゴードンについても式を立て、加速度を求め、加速度が大きい方が有利。ということです。
トーマスが有利という結果になりました。

実際にもトーマスの方が有利なようです。

回答ありがとうございましいた。