数学的帰納法で困ってます

質問

1^2＋2^2＋3^2＋‥‥‥＋n^2
＝1/6n(n＋1)(2n＋1)
数学的帰納法の問題です

1/6k(k+1)(2k+1)+(k+1)^2
＝1/6(k+1){k(2k+1)+6(k+1)}

になる理由がわかりません。
-(k+1)^2の2乗はどこに行ってしまったのか…

回答No.3

asuncion

こっちの方がいいかな？

(2)n=kのときに与式を満たすとすると、n=k+1のとき
k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)^2
= k(k+1)(2k+1)/6 + 6(k+1)^2/6
= (k+1)(2k^2+k+6k+6)/6
= (k+1)(2k^2+7k+6)/6
= (k+1)(k+2)(2k+3)/6
= (k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)/6
となるから、n=k+1のときも与式を満たす。
∴1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2
= n(n+1)(2n+1)/6

回答No.2

DJ-Potato

1/6k(k+1)(2k+1)の(k+1)と、(k+1)^2の(k+1)の片方を括り出して、1/6(k+1)×{…}になっているのです。

回答No.1

asuncion

分数を横方向に書くときは、
/
の左に分子全体を
右に分母全体を
書いてくださると、誤解や勘違いを招かずにすみます。

さて、
1^2 + 2^2 + 3^2 + ...
= n(n+1)(2n+1)/6

(1)n=1のとき
1^2 = 1(1+1)/(2+1)/6 = 1
であるから、与式を満たしている。

(2)n=kのとき与式を満たすとすると、n=k+1のとき
(k+1)(k+1+1)(2(k+1)+1)/6 - k(k+1)(2k+1)/6
= (k+1)(k+2)(2k+3)/6 - k(k+1)(2k+1)/6
= (k+1)(2k^2+7k+6-2k^2-k)/6
= 6(k+1)^2/6
= (k+1)^2
となるから、与式を満たす。

∴1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2
= n(n+1)(2n+1)/6