伝達関数を求める

質問

ステップ応答が
y(t)=1-(exp(-3t))*(sin2t+5cos2t)
初期値は０

このときの(1)伝達関数を求める。と(2)インパルス応答を求める
が問題です

(1)はといたら伝達関数G(s)=(-4s^2-11s+25)/((s+3)^2+4)
になりインパルス応答を求めると
デルタ関数が出てきてしまい？？？です

ということで聞きたいのは
１、伝達関数があっているか
２、インパルス応答にデルタ関数が出てきてもいいか
　　もしくは、計算ミスでデルタ関数が出ているだけか

困っているので回答よろしくお願いします。。。

回答No.4

foobar · ベストアンサー

＃２です。
まず、訂正とお詫び。
「y(t)に定数項が・・」は間違い（ちょっと自分に甘く「不正確」にしたい、、）です。申し訳ない。
正しくは、t=+0 で0でないから、ですね。

ステップ応答の微分に関して。
とりあえず、ご質問の式をそのままつかうとして、、。
y(t)=1-(exp(-3t))*(sin2t+5cos2t)　はt>0の範囲でしか適用できません。
これを（y(-0)=0と整合をとりながら)tの全域に適用できる式にするには、
ステップ関数u(t)をかけて、
y=u(t)-exp(-3t)*(sin2t+5cos2t)u(t)として扱う必要があります。
これを微分すると、du(t)/dt（＝δ(t))の項が残ります。
(t=0でy(t)が0から-4にステップ的に変化しているのと整合しています。)

これを#3さん回答にあるように、
y2(t)=u(t)-(1/5)exp(-3t)*(sin2t+5cos2t)u(t)
とすると、（δ(t)がt!=0で0を使えば）du(t)/dtの項が相殺されて、δ関数が現れなくなります。

お礼

おっしゃるとおり、確かにt=0でステップ的に変化するのでデルタ関数が伝達関数に出てきてもおかしくないかなと思います。
日常じゃありえないけど、数式上だしそんな解もありなのかもしれません。そもそもステップ入力だって完璧にはできないわけなので

度々の回答ありがとうございます。

回答No.3

inara1

最初、最初の応答波形は、y(0) = 0 を考えて
　　　y(t) = { 1 - exp(-3*t) }*{ sin(2*t) + 5*cos(2*t) }
かと思ったのですが、これだと t が大きくなると y(t) → sin(2*t)/5 + cos(2*t) という振動波形になってしまうので、これは違うなと思いました。

y(0) = 0 となるのは、例えば exp に 1/5 をかけた
　　　y(t) = 1 - (1/5)*exp(-3*t)*{ sin(2*t) + 5*cos(2*t) } --- (1)
があります。これだと t が大きいほど振動がなくなっていって 1 に漸近しますのでステップ応答らしい波形になります。これを逆ラプラス変換すると
　　　Y(s) = (13/5)*( s + 5 )/[ s*{ ( s + 3 )^2 + 2^2 } ]
となります。この Y(s) からステップ関数の逆ラプラス変換 1/s を取り除けば、元の伝達関数 G(s) は
　　　G(s) = Y(s)/(1/s) = Y(s)*s = (13/5)*( s + 5 )/{ ( s + 3 )^2 + 2^2 }
となります。これを逆ラプラス変換したのが、G(s) の伝達関数にインパルスδ(t) を加えたときの応答 yi(t) になりますが、G(s) には定数項がないのでデルタ関数は出こなくて
　　　yi(t) = (13/5)*exp(-3*t)*{ sin(2*t) + cos(2*t) } --- (2)
となります。(1)と(2)の波形を添付します。赤色が(1)、緑色が(2)です。

ANo.2さんのコメントに 「ステップ応答を時間で微分するとインパルス応答になる」 とありますが、実際、式(1)を t で微分したものは式(2)になっています。もし、 「ステップ応答を時間で微分するとインパルス応答になる」 を質問文にある y(t) = 1 - exp(-3*t)*{ sin(2*t) + 5*cos(2*t) } にそのまま適用すると、デルタ関数は出てこなくて
　　　13*exp(-3*t)*{ sin(2*t) + cos(2*t) }
になります（？）。

お礼

グラフまで作っていただきありがとうございます。

ただ設問でy(t)=1-(exp(-3t))*(sin2t+5cos2t)と与えられているので
y(t)の定数項が微分してデルタ関数になりきいてくるのかなという風に思います。

回答ありがとうございました。

回答No.2

foobar

2. に関して、
ステップ応答 y(t)に定数1が含まれている（=伝達関数に1の項がある)ので、インパルス応答にはδ関数が含まれるかと思います。

ステップ応答を時間で微分するとインパルス応答になるので、それを使って検算してみてはいかがでしょうか。

お礼

ステップ応答に定数が含まれてもδ関数は出てこない場合もありますが（たとえば2時遅れ系の不足制動）この場合は何回計算しても出てきてしまいました。
ステップ応答を時間微分すればインパルス応答が出てくるというのは初めて知りました。実際に初期値が０じゃないので初期値を変えて伝達関数を求めれば、出てくるかもしれないので計算してみます。

回答ありがとうございました。

回答No.1

inara1

最初のステップ応答 y(t) = 1 - exp(-3*t)*{ sin(2*t) + 5*cos(2*t) } は y(0) = 0 になりませんが、合ってますか？
この y(t) だとデルタ関数が出てきます。

お礼

確かにy(0)=0になりませんね
問題には確かにこの式で与えられているのですが、誤植かもしれないですね
回答ありがとうございました。