e^log(n)/n が e^0 になり、e^0=1 とあるのですが、

質問

e^log(n)/n が　e^0 になり、e^0=1 とあるのですが、どうしてもわかりません。
log(n)/n が　０　ということですよね、、どうしてそうなるのか、教えてください。

回答No.4

alice_44 · ベストアンサー

n=1 を代入する話なんだか
n→+∞ の極限をとる話なんだか
くらいは特定してくれないと、
流石に答えにくいですね。
質問文に書かなきゃと思わなかったのかな。

n→+∞ の話であれば、
e~x が x=0 で連続なことから
lim e~｛(log n)/n｝= e~｛lim (log n)/n｝= e~0
とできるので、lim (log n)/n = 0 を示せばよい。

それには、log n = z で置換するのが楽で、
lim[n→+∞] (log n)/n = lim[z→+∞] z/e~z
となる。

e~z は、任意の z に対して、マクローリン展開
e~z = 1 + z + (1/2)z~2 + …
で表せるが、z＞0 では右辺各項が正なので、
e~z ＞ 第 2 項 = (1/2)z~2。

これを使って、
0 ＜ z/e~z ＜ z/｛(1/2)z~2｝= 2/z
から z→+∞ でのハサミウチを行えば、
上式が示される。

お礼

お礼がとても遅くなりすみませんでした。ありがとうございました。

回答No.3

sanori

１の回答者ですが、
おっしゃるとおりの　ｅ^{log(n)/n}　だと、さっきの回答になるのですが、
もしも、[ｅ^{log(n)}]／ｎ　ならば、
[ｅ^{log(n)}]／ｎ　＝　ｎ／ｎ　＝　１　（ただし、ｎ≠０）
です。

お礼

お礼が遅くなり申し訳ありませんでした。ありがとうございました。

回答No.2

jamf0421

ド・ロピタルの定理というのがあります。前提に注意して使う必要があるのでしょうが、それを認めてしまえば
limf(x)/g(x)=lim {df(x)dx}/{dg(x)/dx}
ということですから(たしかlimf(x)→∞,limg(x)→∞の時も使えるはず）
lim(n→∞) ln(n)/n=lim (1/n)/1=lim (1/n) =0
ということです。
どなたか厳しいかたに安易なやり方を非難されるかもしれませんが...

お礼

ありがとうございました。遅くなりすみません。

回答No.1

sanori

こんにちは。
よくわかりませんが、
少なくともｎが実数のときは
log(n)／ｎ　＝　０
となるのは、ｎ＝１　のときだけです。

「どうしてそうなるのか」は、私にもわかりません。

お礼

ありがとうございました。