ある空間上のベクトルをある単位ベクトル周りに回転する方法(3x3行列)

質問

ある空間上のベクトルをある単位ベクトル周りに回転する方法(3x3行列)を探しており、
以下の「任意軸に対する回転行列」のサイトにたどり着きました。

http://www.laksmido.com/3010.html

大変申し訳ありませんが、この行列の導出方法を教えていただけないでしょうか？
（理由：　現在、上記の単位ベクトル周りの回転後のベクトルを算出するプログラムを
　VBAで書いていますが、数学的な裏づけ(理解)がしたかったため。）

高校・大学教養レベルの線形代数のレベルでも導出できますか？
ちなみに当方、大卒（物理学科）です。

以上、よろしくお願いします。

ちなみに、作者殿に半月前にメールで問い合わせたのですが、回答頂けませんでしたので
こちらに質問しました。

回答No.3

muturajcp

v=t(v_x,v_y,v_z) (t()は()の転置行列とする)
|v|^2=(v_x)^2+(v_y)^2+(v_z)^2=1
v_x=cosψcosθ
v_y=cosψsinθ
v_z=sinψ
となる　ψ,θ　がある
u=t(-sinθ,cosθ,0)
w=t(-v_z*cosθ,-v_z*sinθ,cosψ)
とすると
(v,u)=(v,w)=(u,w)=0
|u|^2=|w|^2=|v|^2=1
v,u,w は互いに垂直な単位ベクトルとなる
A=(v,u,w)
任意のベクトルpに対して
p=(p,v)v+(p,u)u+(p,w)w
t((p,v),(p,u),(p,w))=tAp
v軸のまわりに点　p　を　α　回転した点を　q
S=((1,　 0,　　 0),
　 (0,cosα,-sinα),
　 (0,sinα, cosα))
R=AS(tA) とすると
q=(p,v)v+((p,u)cosα-(p,w)sinα)u+((p,u)sinα+(p,w)cosα)w=Rp

R=(v_x,-sinθ,-v_z*cosθ)(1,　 0,　　 0)(　　　 v_x,　　 v_y,　 v_z)
　(v_y, cosθ,-v_z*sinθ)(0,cosα,-sinα)(　　 -sinθ,　　cosθ,　　0)
(v_z,　　0,　　　cosψ)(0,sinα, cosα)(-v_z*cosθ,-v_z*sinθ,cosψ)

=(　　(v_x)^2*(1-cosα)+cosα,v_x*v_y*(1-cosα)-v_z*sinα,v_z*v_x*(1-cosα)+v_y*sinα)
(v_x*v_y*(1-cosα)+v_z*sinα,　　(v_y)^2*(1-cosα)+cosα, v_y*v_z(1-cosα)-v_x*sinα)
(v_z*v_x*(1-cosα)-v_y*sinα,v_y*v_z*(1-cosα)+v_x*sinα,　　　v_z^2*(1-cosα)+cosα)

回答No.2

nag0720

方法はいろいろあるとは思うけど、その１つとして。

点V(Vx,Vy,Vz)をZ軸で回転させて、YZ平面上に移動させる回転行列をＵ、
さらにそれをX軸で回転させて、Z軸上に移動させる回転行列をＶとします。
また、Z軸でθ回転する回転行列をＲとします。

そうすると、ベクトル(Vx,Vy,Vz)を軸として回転する回転行列Ｔは、
Ｔ＝Ｕ’Ｖ’ＲＶＵ
となります（Ｕ’、Ｖ’はＵ、Ｖの逆行列）。

Ｕ=((cosφ, -sinφ, 0), (sinφ, cosφ, 0), (0, 0, 1))
Ｕ’=((cosφ, sinφ, 0), (-sinφ, cosφ, 0), (0, 0, 1))
Ｖ=((1, 0, 0), (0, cosψ, -sinψ), (0, sinψ, cosψ))
Ｖ’=((1, 0, 0), (0, cosψ, sinψ), (0, -sinψ, cosψ))
Ｒ=((cosθ, -sinθ, 0), (sinθ, cosθ, 0), (0, 0, 1))

cosφ=Vy/√(Vx^2+Vy^2)
sinφ=Vx/√(Vx^2+Vy^2)
cosψ=Vz
sinψ=√(Vx^2+Vy^2)

なので、これからＴを計算すれば求めるものになるはずです。

回答No.1

kabaokaba

http://www5d.biglobe.ne.jp/~noocyte/Programming/Geometry/3DRotation.html

検索してみた．
外積を使って，二次元のケースに落とすのがポイントです．
このサイトはベクトルで表現しているけど
それを成分に直して行列の形にすれば所望の回転行列がでてくるでしょう
向きについては適宜調整してください．