N次元ベクトルの回転

質問

N次元空間にm本の単位ベクトル v_1, v_2, ... v_m があるとします（m < N です。たとえば N=10000、 m=10とか）
m本のベクトルは平行のものがあっても構わないとします。

ここに1本の新しい単位ベクトル x を加えます。

このベクトル x を上手に回転させて、既存の m本のベクトルとの関係を指定した通りにしたいのです。
たとえば v_1との内積は0.5、v_2との内積は-0.1....といった具合です。
m + 1 < N
くらいの条件があれば解は必ず存在すると思います。
x の回転を表す行列、あるいは行列でなくてもv_1, v_2,...との関係を満たすベクトルの求め方をご教示ください。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

＞m + 1 < N
＞くらいの条件があれば解は必ず存在すると思います。

内積の値の設定によっては、それだけでは必ず解が存在するとは言えません。
極端に言えば、v_1=v_2でv_1との内積とv_2との内積が違っていれば当然解が存在しません。

平行でなくても、４次元空間で、
v_1=(1,0,0,0)
v_2=(0,1,0,0)
(x・v_1)=a
(x・v_2)=b
としたとき、a^2+b^2＞1であれば、このようなxは存在しません。

解が存在した場合その求め方は、単純にN元線形連立方程式を解いてそれを単位ベクトルにするだけです。

お礼

本当ですね。
まったく根本が間違っていました。
根っこから考え直します
ありがとうございました