今日の物理の授業で有効数字について学習しました。

質問

今日の物理の授業で有効数字について学習しました。
そこで、１００の有効数字が１桁らしいのですが良く理解できませんでした。
僕の考えは、
１.００×１０の二乗　だから三桁だと思いました。
先生は、
１×１０の二乗　だと説明し、僕がそれだと１に誤差があった時
１０１とかになることがあるから問題文に合わなくなりませんか？と聞きましたが、やっぱり１桁らしいのです。先生が説明するには、考えられるのは
１×１０の二乗　と　　１.０×１０の二乗　と　１.００×１０の二乗の３つだけど、
１×１０の二乗　はこの中で最も、細かい値を保障しなくてよいから、らしいです。
そこで、僕がじゃあ３０は　０.３×１０の二乗で一桁ですね？　と聞きましたが、二桁らしいです。
ですが、やっぱり１００は一の位にも十の位にも０があるのだから、　１.００×１０の二乗
で有効数字三桁だとしか考えられません。
答えとしてはやっぱり先生が合ってるとは思うのですが、どうしても納得できません。
どうして１００が有効数字一桁なのかを教えてください。

回答No.8

htms42

＃６です。

先生の立場はおかしいですね。
８０ｍは有効数字２桁で１００ｍは有効数字１桁だということです。
測定を前提として考えてみればこういうことが起こりません。

８０ｍ＋２０ｍ＝１００ｍ

これを１×１０^2ｍとしなければいけないなんておかしいと思いませんか。
１００ｍ－２０ｍの引き算はできないということになります。
普通に運動場で線引きをやっているときにこんな測り方はしません。
１００ｍを超えると急にメートルの精度があやしくなるなんて測定のし方をすれば小学生に馬鹿にされます。

先生は有効数字を掛け算、割り算だけの場合でしか考えていないようです。
足し算、引き算は同じ単位の量について行われます。その場合、同じ桁まで測定がされていなければ意味を持たないのです。　１００ｋｍ／ｈと８５ｋｍ／ｈが出てくれば相対速度１５ｋｍ／ｈが計算できる精度で測られているという前提になります。
（有効数字の規則は加減・乗除についてのものです。でも乗除だけのものだと考えての質問がよく目につきます。）

力学の範囲では２桁で考えるというのもおかしいです。
９．８ｍ／ｓ^2という数字が出てくるからだというのが理由のようですが誤解があります。
９．８という数字は最後の結果の精度を決めてきます。
「他の数字をいくら精度よく測っても結果は２桁がせいぜいですよ」という意味です。
でも他の数字が９．８よりも精度が悪ければ２桁の精度も期待できなくなります。
組み合わせる材料になる数字の精度は３桁ほしいということになります。したがって３桁の数値を与えている問題も多いです。３桁の数字を与えているのに２桁だと解釈するなんておかしいことをやるというのでしょうか。指数表示をしていなければ３桁の数字を与えてあっても２桁として読むということですね。
９．８というのは３桁に近い数字ですから２桁の中では精度の高い数字です。これより精度が高いというのは３桁の事です。

引き算の場合は桁落ちということが起こりますから２桁の精度がほしい時に材料になる数字を３桁、４桁で求めておかなければいけないということも起こります。そういう時は２桁の数字の中に３桁、４桁の数字が混ざった文章の問題になります。それを勝手に２桁に落としてしまえば問題が成り立ちません。

お礼

二度も回答ありがとうございます。
授業プリントを見直したところ、加法減法では、少数以下の位が最も高いのにそろえる
たとえば、1.1＋0.01＝1.1　となると言うことしか書いてなかったので
８０[ｍ]＋２０[ｍ]の足し算は思いつきませんでした。
確かに有効数字二桁まで保障されているものを足したら一桁までしか保証されなくなるのはおかしいと思います。
有効数字一桁のものから二桁の数を引くことはできないのでしょうか。
たとえば、０.3ｍ－0.17ｍ＝0.13ｍ　0.３が少数第一位だから、0.13＝0.1のようになるのではないかな、と思ってました。
またそれだと、１００ｋｍ／ｈと８５ｋｍ／ｈの相対速度１５ｋｍ／ｈの計算では、１００は
有効数字二桁、もしくは三桁ということになるので、１００の有効数字の考え方は
問題に合わせていこうと思います。
重力加速度9.8については、確かに有効数字が一桁までしかないものが二桁の保証ができるように
なるのはおかしいと思いました。
引き算の桁落ちに関しては、例をあげると１０００[ｍ]と９５０[ｍ]の間の距離を求めると考えてもいいでしょうか。
１０００[ｍ]（先生の説明だと有効数字１桁）－９５０[ｍ]（９.5×１０^２だから有効数字２桁？９.50×１０^2だから三桁という考えはだめだったはず）
となるので確かに変になりますね・・・。
１０００の有効数字を２～４桁で考えると５０[ｍ]（有効数字二桁）でうまくいくと思いました。
僕は物理習い始めたばかりなので、この機会にこれについてははっきりさせたいと思います。
同じ先生に三回目聞きに行くのもアレなので、次は別の先生に聞いてみようと思います。

回答No.7

ShellCera

同じ物体の長さを測定器で測定したとき次の値が得られた。

(1)　L＝ 12.3 mm －－－－有効数字 3桁
(2)　L＝ 12.301 mm－－－－ 〃 5桁

　(1)の12.3 mmにおける「3」は目分量で読んだ結果であり，「2」は，最小目盛りの位置を表すので，1 mm の最小目盛りを有する測定器（例えば物差し）で読んだことになります。(2)の12.301 mmにおける最後の「1」は目分量の読みの結果「1」であり，その前の「0」は最小目盛りの位置を示し，0.01 mmの最小目盛りを有する測定器（例えば，マイクロメータ）を用いたことを示しています。また、同じ測定器の場合、12.300の読みの時も有効数字5桁です。有効数字は、それぞれ意味のある値、数字、桁数です。誤差百分率にも関係してきます。

　このように有効数字を考えるとき、測定値として考えないと"有効"と言う意味が解らなくなってきます。有効数字3桁を単位変更した場合に、100 cm = 1.00　m = 1.00×10^3 mm　となります。
100と書いた数字だけでは何とでも解釈できます。

お礼

回答ありがとうございます。
速さの問題だったのですが、
先生にまた確認したところ、１００の有効数字が１桁であるのは
誤差以前の問題と説明されたので、とりあえず１００[ｍ]と出た時は一桁で考えていこうと思います。
位取りの０　と　意味のある数字の０　の違いに注意していこうと思います。

回答No.6

htms42

１００という数字を１つだけ出して有効数字はいくらという問いを出しているので混乱します。
００が単に位どりの数字なのか測定に基づいた数字なのかは分かりません。
それを「位どりの数字を表すと考える方が適当である」というのは単なる決めつけです。
これが１０００００というような数字であれば位取りだろうとは言えます。でも有効数字２桁や３桁の測定は普通にありうるものだからです。
有効数字が問題になるのはその数字を他の数字と組み合わせて演算を行う場合です。
２つ以上の数字が出てくれば測定のイメージが出てきます。

１００ｃｍと５８ｃｍと並んで書いてあればｃｍまで測っているだろうと考えて計算します。
１００が有効数字１桁であるかもしれないというのはそういう測定しかされていなければ演算が意味を持たないという説明のところで出てくるものです。化学や物理の問題として出てきたのであれば演算が成立するような測定がなされているだろうとして計算することになります。
速さの計算で２０m/ｓ、３０ｍ/ｓという数字が出てくれば普通は有効数字は２桁であるとして計算しています。
教科書も問題集もこういう扱いのはずです。
２．０×１０ｍ／ｓと書いてなければ１ケタだというのはひねくれた解釈です。

化学でも３００Ｋという温度はしょっちゅう出てきます。２７℃です。
３ケタとして扱います。
温度を概算で考えているのか具体的な温度を想定しているのかは場面で変わります。
概算で考えている場面というのは高校の教科書ではあまり出てこないものです。

むしろ逆です。
「２０ｍ／ｓとしか書いてなければ２桁と解釈するより仕方がない。
もし１桁の精度しかないのであれば２×１０ｍ／ｓとして混乱しないようにする。」
という扱いです。

１００の有効数字は１桁だと言う先生はこれからの授業の中でその扱いを通すつもりでしょうか。

力学の問題では距離、速度、時間、質量の演算がずらずらと出てきます。
２０も３０も４０もすべて有効数字２桁として扱っているはずです。
教科書、問題集を見てください。

お礼

回答ありがとうございます。
今回の問題は速さの問題で、１００[ｍ]ということでした。
３０などの二桁の数は有効数字二桁であると考えて納得しようと思います。
１桁～３桁考えられる中で一桁で考えるとおっしゃったので、これからの授業は１００の有効数字は１桁で進むと思います。
また問題集で１００[ｍ]が出ている加速度の問題がありましたが、答えは有効数字二桁の数でした。
先生に聞いたところ、力学の範囲の問題では重力加速度９.８に従うと説明されたので（９.８を計算で使わない場合でも）、力学の範囲の問題は全部有効数字二桁で答えていきたいと思います。

回答No.5

noname#110906

「１００」を
「１００±１００」の意でとれば有効数字３桁
「１００±１０」の意で取れば有効数字２桁
「１００±１」の意で取れば有効数字１桁

つまり、有効数字１～３桁のどのようにも取れます。
要は「１００」という書き方がまずいのです。
もしテストの問題で出題されたのなら反論の余地ありです。

お礼

回答ありがとうございます。
先生は、出題者が１～３桁のどのつもりで出したかわからないときは一桁で考える
とおっしゃっていたので、とりあえず今は一桁と考えていこうと思います。
また、学校の問題集で１００が使われていた問題に関しては、曖昧であまりよくなくて、ちゃんとした
試験にはでないだろうとおっしゃっていたので、試験では問題文などに注意して考えていこうと思います。

回答No.4

hitokotonusi

100という数字が何桁有効かというのは先に行くと、
多分3通りの使われ方がでてきます。

１．整数で誤差を含まない(無限桁有効)
２．有効数字3桁
３．有効数字1桁

さすがに１００と書いて有効数字2桁の人はいないと思いますが。

問題は初めて学習するときに、どうしたらいいかということです。
上の三つのうち、1の整数はこの場合は当たらないと思うので、
残り二つのうちどちらかということになりますが、
有効数字を明確にするという意味では１００で有効数字3桁を表すのは
あまり推奨できません。

初めて学習するときにはルールを厳格に覚えるということが必要なので、
１００と書いたときの0は位取りの０と学ぶのがよいと思います。
最初からこういう書き方もある、ああいう書き方もあると、
多数のやり方をを与えてしまうのは、混乱するだけであまり好ましくありません。

なので、私の判断としては、先生が教えるとおり、
今は、数字の書き方のルールとして、

１００と書いたときの0は位取りの0で有効数字1桁。1×10^2の意味。

と覚えておくのがよいと思います。
当面は、このルールをきちんと身に付けてください。

お礼

回答ありがとうございます。
１００の０は位取りの０と考え１００の有効数字は一桁である
という考えを受け入れていこうと思います。

回答No.3

LomdonT

有効数字は場合によって変わります。
でも単に１００なら３ケタだし３０でも２ケタです。
問題なりを補足してほしいです

先生にしつもんしてみたら。。。
基本的な有効数字の考え方が違うみたい。

また、ある数字×１０なんとか乗　のある数字は１～９にするというきまりがあります。

お礼

回答ありがとうございます。
今回は速さを求める問題で１００は距離のことでした。
ある数字×１０の何とか乗　のある数字は１～９という考え方はこれから意識していこうと思います。

回答No.2

spring135

100という数字の2個の0は有効数字を表すのではありません。100を10と書いたら間違いです。つまり有効数字でなく１０進法における大きさを表します。よって100の有効数字は１ケタです。有効数字がを２桁、３桁あるよと言いたい場合、1.0×10＾2、1.00×10＾2のように書くことになっています。有効数字が1桁の場合は1×10＾2です。

＞１００の有効数字が１桁らしいのですが良く理解できませんでした。
僕の考えは、
１.００×１０の二乗　だから三桁だと思いました。

有効数字の観点からは100は１.００×１０の二乗とは違います。

お礼

回答ありがとうございます。
１００の０は１を百の位に置くための０という考え方をしようと思います。

回答No.1

Ichitsubo

ご質問者さんも先生も正しく、ご質問者さんも先生も間違っているように思います。

100と書かれた場合、有効数字は1桁,2桁,3桁,無限桁のうちどれか一つでしょう。

どの桁で丸められた数値かどうか判断つきませんから有効数字１～３桁のいずれも可能性があります。
また、一方で、円周の長さの公式の2πrの係数「2」が寸分違わぬ2(すべての桁が信用可能な有効数字無限桁)を示すような、ぴったり100を示している可能性も捨てきれません。

お礼

回答ありがとうございます。
１～３桁あるなかで、１桁を取るように教えられたのでこれからは一桁として受け入れようと思います。
また、公式に出てくる数字には気をつけていきたいと思います。
ありがとうございました。