数学IIIの問題です。

質問

数学IIIの問題です。
http://www.dotup.org/uploda/www.dotup.org3292752.jpg
http://www.dotup.org/uploda/www.dotup.org3292754.jpg

(2)の最後のx座標の求め方が分かりません。
どうやったら答えのような式が出るのか分かりません。
ご教授お願いします。

回答No.3

yyssaa

x=(cos2θ+1)/2から
2x-1=cos2θ=cos^2θ-sin^2θ=cos^2θ-(1-cos^2θ)
=2cos^2θ-1、→ x=cos^2θ、→ x=y^2
両辺をxで微分して2ydy/dx=1、→ dy/dx=1/2y
点(x1,y1)の接線の式をy=(1/2y1)x+Cとすると
y1=(1/2y1)x1+CよりC=y1-(1/2y1)x1、よって
点(x1,y1)の接線の式はy=(1/2y1)x+y1-(1/2y1)x1
両辺にy1を乗じて
yy1=x/2+y1^2-x1/2、x1=y1^2を代入して
yy1=(x+x1)/2・・・(1)
同様に点(x2,y2)の接線の式は
y2y=(x+x2)/2・・・(2)
(1)/(2)
y1/y2=(x+x1)/(x+x2)、xについて解くと
(y1-y2)x=x1y2-x2y1
y1^2=x1、y2^2=x2を代入して
(y1-y2)x=y1^2y2-y2^2y1=y1y2(y1-y2)
からx=y1y2・・・(3)
(1)の傾斜が1/2y1、同様に(2)の傾斜は1/2y2
両線が直交するので、(1/2y1)*(1/2y2)=-1
y1y2=-1/4、(3)に代入してx=-1/4・・・答え

回答No.2

spring135

＃1です。

下から4,5行目で交点を求めるときの計算が間違っていました。

x=pq=-1/4です。

回答No.1

spring135

（1）t=Θとおく

x=(cos2t+1)/2=(2cos^2t-1+1)/2=cos^2t=y^2

y=cost, 0<t<πより　-1<y(1つまり　

x=y^2 (-1<y<1）(1)

（2）(1)上の2点P(p^2,p),Q(q^2,q)における接線が直交する条件を求める。

(1)よりdx/dy=2y

よってdy/dx=1/2y

点Ｐにおける接線は　

y-p=(x-p^2)/2p

y=x/(2p)+p/2 (2)

点Qにおける接線は　

y=x/(2q)+q/2　(3)

(2)、(3)が直交するためには

（1/2p)(1/2q)=-1

つまりpq=-1/4 (4)

(2),(3)を連立して交点を求めると

p≠qより

x=2pq

(4)を用いて

x=-1/2