二項関係をブール代数を用いて行列の性質に書き換える

質問

はじめて質問させていただきます。

理工系の学部生なのですが、以下のような課題が出まして、解けずに困っています。

＊＊＊
問．
以下の二項関係Rの７つの性質に関して、通常の行列の関や和における要素間の和と積を、ブール代数の和と積に変更し、第（i,j）成分ごとに積を取る演算 R∩R を用いて、行列の性質として書き換えよ。

二項関係Rの性質
・反射性（おそらく、I≦R）
・対称性（おそらく、R=R^T（転置行列））
・推移性（おそらく、R^2≦R）
・非対称性
・反対称性
・比較可能性（完全性、線形性）
・否定的推移性

＊＊＊

上記の性質の上３つ（反射性、対称性、推移性）に関しては、上記のように答えらしきものにたどり着いたのですが、下４つ（非対称性、反対称性、比較可能性、否定的推移性）に関しては、考えあぐねています。

お力をお貸し頂けると非常に助かります。

回答No.1

Tacosan

まず
・二項関係R をどのように行列で表現するのか
を書かないと話になりません. あと,
「第（i,j）成分ごとに積を取る演算 R∩R」
という表現も (意味は分かるけど) 変. 単に「成分ごとに」でいい. もう 1つ言えば
・「I≦R」における不等号の定義が書かれていない
のもだめ.

でも, 「否定的推移性」ってあんまり一般的な用語ではないと思う....

補足

ご丁寧にありがとうございます。
質問内容の不備を補足させていただきます。

・二項関係R をどのように行列で表現するのか

二項関係R'⊆X^2を考える、Xが有限集合{x1,x2, ,,, ,xn}である場合、R'に対して２次元行列Rを次のように一意に定める。
すなわち、Rの(i,j)成分rijは、

rij={ 1 (xi,xj)R'のとき / 0 その他}

・「I≦R」における不等号の定義

行列間の不等号関係はベクトルの不等号関係と同様に定めれる。

・否定的推移性

任意のx,y,z∈Xに対して、(x,y)∉R'かつ(y,z)∉R'ならば(x,z)∉R'が成立する

宜しくお願い致します。