円周率が3.1より大きいことについての幾何学的回答

質問

同じ数学の教職課程をとっていた人に聞いたところ過去に「円周率が3.1より大きいことを証明せよ」という問題が幾何学の問題で出たそうです
しかし指定教科書を読んでいてもこの問題が解けそうな解説が見当たりませんがどのようにして幾何学的に回答すればよいのでしょうか？
指定教科書は以下のものです
https://www.asakura.co.jp/book_search_list.php?BOOK_SEARCH_STR=%E5%B9%BE%E4%BD%95%E3%81%AE%E4%B8%96%E7%95%8C

回答No.2

staratras · ベストアンサー

半径１の単位円を24等分した中心角15度の扇型とこれに内接する半径を等辺とする頂角15度の二等辺三角形の面積を考えます。扇型の面積はπ/24、二等辺三角形の面積は1/2・1^2・sin15度＝1/2sin15度＝(√6-√2)/8　だから
(√6-√2)/8<π/24 つまり　3(√6-√2)<π　が成り立ちます。

そこで3(√6-√2)と3.1＝31/10 の大小を比較します。
A=3(√6-√2) B=31/10 とおき両者正だから平方して大小を比較すると
A^2-B^2=9(8-4√3)-961/100=（6239-3600√3)/100>0

∵　6239^2=38925121>（3600√3)^2=38880000
∴　A>B　∴3.1<3(√6-√2)<π

なおsin15度の値(√6-√2)/4は加法定理などで求めることができます。

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回答No.4

staratras

定石の解法は円に内接する正多角形の周長がこの円の直径の3.1倍より大きい（半径の6.2倍より大きい）ことを示します。半径１の単位円で考えると、これに内接する正ｎ角形の周の長さLはL=２ｎsin(180度/n)です。

n=11　のときL=22sin（180/11）度≒6.1981、n=12のときL=24sin15度≒6.2116　なので正12角形以上が必要です。
sin(180度/n)が計算で容易に求められる点からもn=12の正12角形の場合が好適です。
sin(15度)=sin(45度-30度)=√2/2・√3/2-√2/2・1/2=（√6-√2)/4

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回答No.3

chie65536（@chie65535）

半径１の円に内接する正１２角形を書き、その正１２角形の１２個の辺の長さの合計が、6.2を超えている事を示します。

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回答No.1

m5048172715

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10107704680

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