教えてください

質問

ある凸状の多角形は119の異なる対角線を持つ。この多角形の辺の数はいくつ？
対頂角と辺の数が一対一に対応してなかったり、ダブって辺の数を数えてしまったりで混乱してしまっています。
良い答えの出し方があれば教えてください。
分かる方、宜しくお願いします。

回答No.3

debut · ベストアンサー

ｎ角形の１つの頂点から引ける対角線の本数は
その頂点、およびその両隣の頂点の３つの点には引けないので　
ｎ－３本です。
それが、ｎ個の頂点すべてにいえるから、合計はｎ倍して
ｎ(ｎ－３)本のはずですが、どの対角線も頂点の両方向から２回
ずつダブってかぞえているから、結局２で割って、
{ｎ(ｎ－３)}/２　本になります。

{ｎ(ｎ－３)}/２＝119
ｎ^2－３ｎ－238＝０
(ｎ－17)(ｎ＋14)＝０　と因数分解できます。

お礼

めちゃくちゃわかりやすいです！
ありがとうございました！

回答No.2

DIooggooID

凸状の多角形の対角線を考えて見ます。

四角形　：　１　＋　１
五角形　：　２　＋　２　＋　１
六角形　：　３　＋　３　＋　２　＋　１
　：　　　　　　　　：

　という関係にあることが見えてきます。

ｎ角形では、　（ｎ－３）　＋　（ｎ－３）　＋　（ｎ－３）－１　＋　（ｎ－３）－２　＋　（ｎ－３）－３　＋　・・・

　これは、　（ｎ－３）　＋　{　（ｎ－３）（ｎ－２）／２　}
　と表せます。

　　これが　１１９　になるので、

凸状の多角形の辺は、　１７　です。

お礼

なるほど！規則性を探していくのですね！
ありがとうございました！

回答No.1

noname#108260

n角形の対角線の本数の式を求めて、イコール119として解く。
これ以外に解く方法は思いつきませんでした。