…{{φ}}…は集合ですか？、{{{……}}}は集合ですか？

質問

1は自然数
1+1は自然数
1+1+…は自然数でない

1は実数
1.1は実数
1.1…は実数

{1}は集合
{1,1+1}は集合
{1,1+1,…}は集合

{1}は集合
{1}∪{2}は集合
{1}∪{2}∪…は集合

φは集合
{φ}は集合
{{φ}}は集合
…{{φ}}…は集合ですか？
つまり、"{"と"}"という記号を、外側に付け足していったときの集合列の極限は集合ですか？

次に、φを{ }と書くことにすると、
{ }は集合
{ { } }は集合
{ { { } } }は集合
{ { { …… } } }は集合ですか？
つまり、"{"と"}"という記号を、内側に付け足していったときの集合列の極限は集合ですか？

集合であるとしたらなぜか、同じ集合なのか、どういった集合なのか、なども含めて、専門的に教えていただけるとうれしく思います。

回答No.5

stomachman

読み返してみたら、どうも誤解されそうな気がするんで付言しときます。
　ANo.4で「s∈sとなる集合sが存在する」なる公理の言うsは、「外側に付け足していったときの集合列の極限」(もうお分かりだと思うが、存在しない）とは別の話です。両者が同じ物であるということじゃありません。
　ついでに。集合論で「xが存在する」と言うのは、要するに「xは集合である」という意味です。また、「極限が存在するかどうか」という問いは、正確には「ある集合Xの中に極限が存在するかどうか」であって、そのXの要素はもちろん集合である。だから、極限があるかどうか以前に、「外側に付け足していったときの集合列の極限」がそもそも集合なのかどうかを心配する訳です。

お礼

ありがとうございます。でもまだ混乱しています。
ZF集合論は読もうとした経験があるものの、フィルターとかのあたりで挫折した身です。

No.4をもう一度読み返してみると、
3段落目の
>しかし「sは極限だ」というのだから、このうえ「外側に付け足し」てももう変化しないはずで、つまりs={s}。
が素直に飲み込めません。
極限状態で何かの性質が保たれないのはよくあるので。

2段落目の
>もしその極限であるsを作れたなら、出来たのだからもちろんそれは集合です。
と仮定する方針ではなく、実際に作ろうとしなければいけないと思うのです。

>「s∈sとなる集合sが存在する」
という公理をZF公理系に付け加えることは可能で、これで何の不都合も出ない。

これは、x^2=-1となる「数」を実数に付け加えることと同じようなことなのでしょうか？
x^2=-1となる「数」は虚数として有益ですが、
1/0つまり(1:0)となる「点」は無限遠点として有益ですが、
s∈sとなる「もの」も有益なのでしょうか？
…{{φ}}…となる「もの」も有益なのでしょうか？

回答No.4

stomachman

「外側に付け足していったときの集合列の極限」って何だい？と聞かれて、だーからどんどん付け足して作っていくんだよ、というだけじゃ、その操作は終わらないんですから、いつまで経っても極限なるものには行き着かない。極限があるのかどうかも分からない。そんな話じゃしょうがないね、まずは何とかしてそのブツを作ってから持っておいで、ってことになります。
　そして、[数学の集合に関する標準的な公理系（ZF公理系）に従って]もしその極限であるsを作れたなら、出来たのだからもちろんそれは集合です。あるいは、sがある集合Xの要素として含まれているような、そういうXを作れたら、少なくともsの存在は証明できたことになります。

　さて、仮にその集合sがあったとしましょう。sは集合なんだから{s}が作れて、s∈{s}は明らかです。しかし「sは極限だ」というのだから、このうえ「外側に付け足し」てももう変化しないはずで、つまりs={s}。sだけがsの要素であって、s∈sである。
　一方、ZF公理系で作れる集合を「普通の集合」と呼ぶことにすると、「普通の集合」はどれもこの性質を持っていません。ですが、s∈sになったら集合ではない、というルールもない。つまり、ZF公理系は「普通の集合」だけが集合だ、とは言ってないんです。なので、
「s∈sとなる集合sが存在する」
という公理をZF公理系に付け加えることは可能で、これで何の不都合も出ない。なぜ不都合が出ないかというと、「普通の集合」とsとがカラんで何かができるということはないからでして、逆に言えばsには使い途がないから無害である。

　一方、「内側に付け足していった」方はというと、どう扱ったものかちょっと思いつかないな。{ } が有限個であるうちは「外側に付け足していった」のと全く同じであり、従って極限（が存在すると仮定して、それ）に至って初めて違いが生じうる訳ですが、その極限においても通用するような「内側に付け足」す操作が、そもそも定義できるでしょうかね。

> 専門的に教えて

　それには、少なくとも入門的なレベルまで数学基礎論を勉強なさらないと。

お礼

ありがとうございます。
素朴集合論の本は読んだことはありますが、そのときは納得したつもりですが、今はあやしげな知識です。

実数列a[n],b[n]に対して、lim[n→∞]a[n],lim[n→∞]b[n]が存在するとする。このとき、
a[n]＜b[n]　ならば　lim[n→∞]a[n]≦lim[n→∞]b[n]

集合列A[n],B[n]に対して、lim[n→∞]A[n],lim[n→∞]B[n]が存在するとする。このとき、
a[n]⊂≠b[n]　ならば　lim[n→∞]a[n]⊆lim[n→∞]b[n]

これらと、次のことを同等に扱ってよいのでしょうか？

集合列A[n],B[n]に対して、lim[n→∞]A[n],lim[n→∞]B[n]が存在するとする。このとき、
a[n]∈b[n]　ならば　lim[n→∞]a[n]∈lim[n→∞]b[n]

また、実数列の極限の定義は、位相(イプシロン-デルタ論法)によるもの、上極限・下極限によるものの2種類ありますが、
集合列の極限の定義は上極限・下極限によるものは聞いたことがあっても、位相(？)によるものがどうなのか、昔から疑問に思っております。

回答No.3

alice_44

{ 1 } と { { 1 } } は異なる集合でしょう？
φ と { φ } だってそうですよ。
区対論の信者でもない限りは…

お礼

ありがとうございます。でも混乱しています。

質問の題名に書いた
…{{φ}}…
という表記については定式化できました。

A[1]=φ
A[2]=｛A[1]｝=｛φ｝
A[3]=｛A[2]｝=｛｛φ｝｝
…
とする。
このとき、
lim[n→∞]A[n]
とは何か?

または、集合Xに対し、
X→{X}
という作用を考えたとき、その作用を無限回施すことは何を意味するのか?

しかし、同様に考えて、
{{{……}}}
という表記を定式化することができていません。

例えるなら、植物の根は先っぽが伸びていき、古い部分は変わらないのに対し、動物の毛は根元から伸びていき、古い部分は押し出されるといった違いです。

回答No.2

info22_

空集合φはどれだけ集めての空集合にしかならないので
>{ { { …… } } }は集合ですか？
これも空集合だと思いますが。。。

類例）
0を幾つ足しあわせても0、それをどんどん足し合わせいいっても0にしかならない。
空のバケツ（水が全く入っていないバケツ）の水（0リットル）を空の水槽に何杯注いでも、水槽の水は0リットルのまま。
ご飯が全く空の茶碗（ご飯の量は0グラム）で何杯ご飯を食べても、お腹の中にご飯は全くたまらない。

といったのに似ていますね。

お礼

ありがとうございます。

{ { { …… } } }
は空集合というのは、違うと思います。

数の演算(和、積)や作用(対数をとる)
関数の演算(和、積)や作用(微分する)
集合の演算(和集合、ベキ集合、直積)や作用(自身を要素とする集合を作る)

などについて、それらの極限概念の差異について混乱しています。

回答No.1

alice_44

どちらも、「集合」ではないです。
そのような集合 S が存在したとすれば、
S∈S が成立してしまいます。
ラッセル以降の集合論では、そのような
「集合」は禁止されています。

お礼

ありがとうございます。でも混乱しております。

A[1]=φ
A[2]=｛A[1]｝=｛φ｝
A[3]=｛A[2]｝=｛｛φ｝｝
…
とする。
このとき、
lim[n→∞]A[n]
とは何か?
集合列には、上極限と下極限が定義され、それらが一致するときに集合の列は収束するというそうですが、
上極限と下極限は具体的にどうなるのでしょうか？
そもそも、…{{φ}}…が集合であるか、そうでないかを論じることと、
lim[n→∞]A[n]が存在するかしないかを論じることは同じなのでしょうか?

A[1]∈A[2]
A[2]∈A[3]
…
より、lim[n→∞]A[n]が存在すると仮定すればそれをSとして、S∈Sが成立する

このことは感覚的には分かりますが、本当に正しい論証なのでしょか?
集合論の世界では、常識や感覚が通じないことが多いと聞いているもので。