2009年京都大学（文系）の入試問題・・・微分方程式

質問

整式f(x)と実数Cが

インテグラル（上端x/下端0）f(y)dy　+　インテグラル（上端1/下端0）(x+y)^2dy = x^2 + C

を満たすとき、このf(x)とCを求めよ。

という問題です。
展開してxを出すと、
インテグラル（上端x/下端0）f(y)dy　+　x^2インテグラル（上端1/下端0）f(y)dy　+　2xインテグラル（上端1/下端0）yf(y)dy = x^2 + C
となりますが、模範解答ではここから両辺をxで微分しています。
しかし、私はこれを微分方程式として、f(x)をn次式とおいて、解いてみました。

f(x)をn次式とおくと、
（左辺の最高次数）≦　n+1
（右辺の最高字数）=　2
与式はxについての恒等式であるから、（左辺の最高字数）＝（右辺の最高次数）より、
2 ≦ n+1
n ≧ 1
となってしまいます。本当は n ≦ 1となるべきところですよね？

このタイプの微分方程式の問題は以前にも解説をしてもらい、前回質問したときの問題では解決したのですが、
問題が変わり、前回と同じやり方で解こうとすると、このように結果があわなくなってしまいます。

私が解いた方法でどこが間違った答えが出た原因になっているのか教えてください。
数学は苦手なほうなので、詳しめに解説してもらえるとありがたいです。

また他の解き方があれば、そちらも教えてほしいです。
もちろん、メインはどこが間違っているのかという方ですが。

それではよろしくお願いします。

回答No.12

alice_44 · ベストアンサー

後続の質問 http://oshiete1.goo.ne.jp/qa5761192.html
の No.2 補足を拝見しました。
ミスプリだけの問題では、なかったですね。
No.3 No.4 は全面撤回して、陳謝します。

No.6 のほうを見て下さい。
n+1 ＞ 2 の場合には、両辺の次数が一致しないので、
そのような解は無い。
n+1 ≦ 2 の範囲で解を探すことになるから、
必要条件として f(x) = a x + b と置くが、その時点では、
n+1 ≦ 2 の範囲に解があることは保証されておらず、
a, b の値を絞り込んだ後で、十分性を確認することになる。
…という流れになります。

補足

問題の流れはすべて解決しました

場合分けのときに(i)ではないから残りの可能性である(ii)の場合が必要条件になるんですね

最後に一つだけ解答の書き方なのですが

(ii)の場合ですが

n+1≦2のとき
max(n+1,2)=2 =2(右辺の最高次数)となるから成立

(i)(ii)より n+1≦2 が必要

で合ってますか？

前回 max(n+1,2)=2 の後ろの不等式について教えてくださいましたが
(max(n+1,2)=2≦2とかの話です)
結局は上のように=2(右辺の最高次数)だったということですよね？

回答No.2

Tacosan

元の問題は
∫[0,x]f(y)dy+∫[0,1](x+y)^2*f(y)dy=x^2+C
のようです＞#1.
だとしても, f が 2次以上になってもうれしくないと思う.
あと f を n次としても
(左辺の最高次数) ≦ n+1
とは限らないことに気づいてる?

補足

問題の転記ミスでした
ごめんなさい

(左辺の最高次数) ≦ n+1

の部分が間違ってるということですよね？
正しくは不等号の向きが逆ということですか？

その解説をお願いします

回答No.1

info22_

>インテグラル（上端x/下端0）f(y)dy　+　インテグラル（上端1/下端0）(x+y)^2dy = x^2 + C

の左辺を変形した

>インテグラル（上端x/下端0）f(y)dy　+　x^2インテグラル（上端1/下端0）f(y)dy　+　2xインテグラル（上端1/下端0）yf(y)dy = x^2 + C

の左辺が同じではありません。

>となりますが
となりません。

問題にミスがありませんか？
式の変形にもミスがあるようです。

問題を正しく書き直し、積分の書き方もこのサイトの他の回答に習って書いて下さい。
⇒∫[0,1]f(y)dy+∫[0,1](x+y)^2*f(y)dy=x^2+C
ではないですか？

そうであれば
∫[0,1]f(y)dy+x^2*∫[0,1]f(y)dy+2x*∫[0,1]yf(y)dy+∫[0,1]y^2*f(y)dy
=x^2+C
となるはずですが、貴君の積分の展開は間違っているようです。