ひとつのサイコロをn回・・・

質問

(2)の期待値を求めるものが解けません(1)は解けたのですが。

座標平面状の原点から動点Ｐ（x，y）がサイコロを投げて１～４ならx方向に＋１、５,６ならy方向に＋１進みます。
n回投げたとき
（１）x－y＝k　　(-k≦ｎ≦k)である確立は？

x方向(→)に進む確立はp＝2/3
y方向(↑)に進む確立はq＝1/3
↑…i回、→n-i回すすむとして
x－y＝i-(n-i)=2i-n=k ∴i＝(n+k)/2
よって求める確立Ｐnは
n+kが奇数：Ｐn＝0
n+kが奇数：Ｐn＝n_Ｃ_i・p^{i}・q^{n-i}（＝Ｐiとおく）（i,ｐ,qを代入）

(2)期待値を求める

回答No.2

tancoro · ベストアンサー

こんにちは、ONEONEさん。回答は既に出ているのですが・・。問題を若干改良して以下のように考えてみます。
【改問】
サイコロで１、２、３、４が出た場合当たりとし、５、６が出た場合をはずれとします。n回投げた時x回当たりが出る確率は？

この確率を求めるために、次ように考えます。
１）n回中、x回の当たりと n-x回のはずれが出る。
２）x回の当たりとn-x回のはずれの出現パターンは、nCx通りある。
つまり、確率 b(x:n, 2/3)は、
b(x:n,2/3) = nCx * (2/3)^x * (1/3)^(n-x) ------ (1)
となります。

次に確率の総和を考えてみます。
Σ[x=0～x=n] b(x:n,2/3) = Σ[x=0～x=n] nCx(2/3)^x(1/3)^(n-x)
ここで、右辺をよく見ると[(2/3)+(1/3)]^nを二項展開した時の式になっていることに気づくと思います。よって、
Σ[x=0～x=n] b(x:n,2/3) = [(2/3)+(1/3)]^n = 1^n = 1 ------ (2)
となります。

また、期待値 E[x]は、
E[x] = Σ[x=0～x=n] x * b(x:n,2/3)
= Σ[x=0～x=n] x * nCx * (2/3)^x(1/3)^(n-x)
= n * (2/3) * Σ[x=1～x=n] (n-1)C(x-1) * (2/3)^(x-1) * (1/3)^(n-x)
= n * (2/3) * Σ[x=0～x=n-1] b(x:n-1,2/3)
= n * (2/3) * 1
= n * (2/3) ------ (3)
となります。

ここで、(1),(2),(3)を頭に入れて本題を考えて見ましょう。
改問の、n回サイコロを振ってx回当たりが出る確率。これは、n-x回はずれが出る確率でもあります。
また、n回中x回当たりが出現した時の x - y は、必ず x-(n-x) = 2x-n となります。よって求める期待値は、
E[x-y] = Σ[x=0～x=n] (2x-n) * b(x:n,2/3)
= 2 * Σ[x=0～x=n] x * b(x:n,2/3) - n * Σ[x=0～x=n] b(x:n,2/3)
= 2 * E[x] - n * 1
= 2 * n * (2/3) - n
= n/3
となります。
以上です。参考までに・・・

お礼

どうもありがとうございました。

回答No.1

kony0

なんの期待値を求めたいのか、明記されていませんが、
きっとX-Yの期待値なんでしょう。

上にi回、右にn-i回進んだとき、x-y=2i-n
従って、求める期待値は
Σ(i=0～n) (2i-n)*{nCi*p^i*(1-p)^(n-i)}
=2*np-n=n(2p-1)=n/3

ここで、Σ(i=0～n)i*{nCi*p^i*(1-p)^(n-i)}は、２項定理Bin(n,p)の期待値npであり、
Σ(i=0～n){nCi*p^i*(1-p)^(n-i)}は、２項定理から1であることを使いました。

お礼

どうもありがとうございました。