極限値

質問

tanh(1/x) (x→+0)
を求めたいのですが…。
tanh(1/x)は{e^(2/x)-1}/{e^(2/x)+1}だと思います。
2/xでxを右から0に近づけると2/x→∞でe^(2/x)は無限大に発散してしまい極値が分かりません。
答えには１だと書いてあります。
なぜなのでしょうか。教えてください。

回答No.1

rei00 · ベストアンサー

数学は専門外ですので，とんでもないボケかましてる様な気もしますが・・・。

　{e^(2/x)-1}/{e^(2/x)+1} の分母分子を e^(2/x) で割ると，

　{e^(2/x)-1}/{e^(2/x)+1} = {1-1/e^(2/x)}/{1+1/e^(2/x)}

　ここで 2/x→+∞ で e^(2/x)→+∞ ですから，1/e^(2/x) → 0。したがって，

　{e^(2/x)-1}/{e^(2/x)+1}
= {1-1/e^(2/x)}/{1+1/e^(2/x)} → (1-0)/(1+0) = 1

　こう考えたらダメでしょうか？

回答No.3

mmky

「tanh(1/x)は{e^(2/x)-1}/{e^(2/x)+1}だと思います。 」
ここが不正確ですね。
参考までに
双曲線関数
sinh(1/x)={e＾(1/x)-e＾(-1/x)}/2
cosh(1/x)={e＾(1/x)+e＾(-1/x)}/2
tanh(1/x)=sinh(1/x)/cosh(1/x)
={e＾(1/x)-e＾(-1/x)}/{e＾(1/x)+e＾(-1/x)}
=e＾(1/x){1-e＾(-2/x)}/e＾(1/x){1+e＾(-2/x)}
={1-e＾(-2/x)}/{1+e＾(-2/x)}
ですよね。
lim[x→+0]f(x)=lim[x→+0]tanh(1/x)
{ x→+0, e＾(-2/x)→e＾(-∞)→0 }
=1/1=1

lim[x→-0]f(x)=lim[x→-0]tanh(1/x)
{ x→-0, e＾(-2/x)→e＾(∞)→∞ }
lim[x→-0]f(x)
=lim[x→-0]{1/e＾(-2/x)-1}/{1/e＾(-2/x)+1}
=(0-1)(0+1)=-1
ということでしょうかね。

回答No.2

hal417

{e^(2/x)-1}/{e^(2/x)+1}を分母と分子を
e^(2/x)で割ると
1-1/{e^(2/x)}/1+1/{e^(2/x)}
で、
(x→+0) のとき1/{e^(2/x)}→0
だからtanh(1/x)→(1-0)/(1+0)=1(x→+0)
ですね。