換算質量について

質問

両端固定してバネ定数k1、k2のバネを、質量m1,m2の質点をはさんで振動させるという一番よくみかける問題なんですが、これの換算質量の求め方がわからず、立ち止まってしまいました。
ラグランジアンを求めるのに、こういう問題では換算質量が必要ですよね。
どなたか、解説をよろしくお願いします。

回答No.3

grothendieck · ベストアンサー

KENZOUさんも書かれていますが、換算質量を求めるのは通常閉じた系のばあいです。その場合は重心座標と相対座標を導入すると運動量保存のため重心座標は等速直線運動になり、相対座標については換算質量を持つ質点の１体問題に帰着されます。バネが固定されている時、固定点から力を受けるため、閉じた系ではなく、運動量は保存されません(エネルギーは保存される)。ポテンシャルエネルギーが相対座標だけでは表わせないため、１体問題に帰着されず換算質量を求める利点はありません。それよりこのような問題では基準振動のモードに分解することが重要です。モードというのは「基本的な運動の様式」のことで一般の解はそれの重ねあわせとして理解されます。簡単のため、三つのバネ定数が等しいとすれば、真ん中のバネが伸び縮みせずに二つの質点が平行して動くような解があるでしょう(重心座標の単振動)。もう一つは重心座標が一定で、二つの質点がその周りに振動するような解があるでしょう。この二つが基準振動です。振動を基準振動に分解することについてはランダウ・リフシッツ「力学」に詳しく説明されています。ただしこの本は難解です。私が昔読んだ時にはさっぱり理解できませんでした。

回答No.2

grothendieck

どういう問題なのかわかりません。下の図の様に三つのバネがあるのでしょうか。もしそうだとしたら真ん中のバネのバネ定数は？図で説明して下さい。

　固定　バネ定数k1 質点1　　　質点2　バネ定数k2　固定
　　|―∨∨∨∨∨―●―∨∨∨∨―●―∨∨∨∨∨―|

お礼

お返事ありがとうございます。
まさに、grothendieckさんのいうとおりの図でして、左のばね定数がｋ１、真ん中のバネ定数がｋ２，右のバネ定数がｋ３になります。質点はそれぞれｍ１、ｍ２です。
説明不足ですみません。

回答No.1

KENZOU

またお会いしましたね(^^)。さて換算質量についてのヒントを簡単に書いておきますので参考にしてください。
質量m1,m2の2質点がバネで結ばれている問題を考えてみます。質点1は質点2に力F12で働きかけ、質点2は質点1にF21の力で働きかけるとします。今、この2つの質点しか存在しない、つまり他所から別の力を受けないという環境下にあるとしますと、2質点間の相互作用は常に相等しく、向きは逆である(つまり作用・反作用の法則というやつですね）というニュートンの第3法則が成り立ちますので、これを数式で書くと
F12＋F21＝０　　(1)
となります。つまり、質点1と質点2を全体として見た系には力が働かないということですね。次にそれぞれの質点の運動方程式を書くと
m1r1"＝F21　→　r1"＝(1/m1)F21　(2)
m2r2"＝F12　→　r2"＝(1/m2)F12　(3)
となります。ここで(2)-(3)を計算すると(1)を使って
r1"-r2"＝(r1-r2)"＝(1/m1)F21-(1/m2)F12
＝{(1/m1)＋(1/m2)}F12　　　(4)
r1-r2=R、1/μ＝1/m1＋1/m2　と置けば(4)は
μR"＝F12　　(5)
となり、最初2つあった運動方程式が、一つの運動方程式で表すことができます。つまり2質点系の運動を1質点系の運動に焼きなおしたことになりますね。そしてμを換算質量と呼んでいます。
ちなみにこの力学系のLagrangianはバネ乗数をkとして
Ｌ＝(1/2)m1r1'^2＋(1/2)m2r2'^2－k｜r1－r2｜
となります。この辺の事情は適当な解析力学の教科書に載っている思いますので、紐解いてみてください。

お礼

またまた早速のお返事ありがとうございます。
バネが２本で、質点が１つの場合の換算質量は出せるのですが、バネ定数ｋ１，ｋ２，ｋ３があり、その間に質点ｍ１、ｍ２が挟まれている場合はどうやって出すのでしょう？ラグランジアンを出したけど、とんでもないことに・・・（泣）