ZF公理系に「積集合の公理」がないのは何故ですか？

質問

（I）外延公理　　　∀z（z∈x <-> z∈y）－＞ x=y
（II）対公理　　　　∃z∀u（u∈z <-> u=x ∨u=y）
（III）和集合公理　　∃y∀z（z∈y <-> ∃u（u∈x∧z∈u））
（IV）ベキ集合公理　∃y∀z（z∈y <-> z⊆x）
（V）空集合公理　　∃x∀y￢（y∈x）
（VI）無限公理　　　∃x（Φ∈z∧∀y（y∈x ー＞ y∪{y}∈x）)
（VII）置換公理　　　∀x∀y∀z（φ(x,y）∧φ(x,z）－＞y=z) －＞ ∃v∀y（y∈v <-> ∃x（x∈u∧φ(x,y)））
（VIII）正則性公理　　x≠Φ　ー＞　∃y（y∈x　∧ ｙ∩x＝Φ）

このように和集合の公理はあるのに何故積集合の公理はないのでしょうか？
他から導けるのでしょうか？

回答No.2

tmpname

> これは結局対公理、冪集合公理、分出公理（置換公理）から導かれます
和集合公理もいります。

お礼

導かれるんですね
ありがとうございました

回答No.1

tmpname

積集合というのが意味が曖昧ですが、
＊2集合A, Bの「共通部分」x∩yの意味なら、{ w∈x | w∈y }なので、分出公理、従って置換公理から導かれます。
＊2集合A, Bの「直積」x × yの意味なら、x × y = { <a, b> | a∈x, b∈y }で、
<a,b>はaとbとの順序対で普通{a, {a,b}}として作られるので、これは結局対公理、冪集合公理、分出公理（置換公理）から導かれます
（対集合公理は空集合公理、冪集合公理、置換公理から導かれるので、2集合A, Bの「直積」x × yは空集合公理、冪集合公理、置換公理から導かれる、という事もできます）

お礼

すみません、共通部分のことでした
詳しくありがとうございました