広義積分

質問

∫(x^2)*(2/√π)e^(-x^2)dx (積分範囲は0→∞)
の計算が分かりません。
どなたか出来る方、至急、よろしくお願いします。

回答No.1

kony0 · ベストアンサー

Γ関数を使える問題ではないでしょうか？
x^2=tとおくと、2xdx=dt
与式=∫[t:0→∞]t^(1/2)/√π*e^(-t)dt=Γ(3/2)/√π
=(1/2)Γ(1/2)/√π=1/2

Γ関数については、こちらが比較的わかりやすそう。

参考URL：

http://bio-math10.biology.kyushu-u.ac.jp/~sasaki/LecNotes/chi_square/chi_square_body.htm

お礼

回答ありがとうございました。
参考URLも役立ちました。

回答No.3

siegmund

Γ関数で表現できるという話は kony0 さん，mmky さんの言われるとおりですが，
問題の積分に限るなら次の様な方法もあります．

guowu-x さんのすぐ前の質問
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=569360
にあるガウス積分
(他にもガウス積分でこのサイトを検索すると一杯ヒットします)
(1)　　∫[0→∞] exp(-x^2)dx = (1/2)√π
から
(2)　　∫[0→∞] exp(-ax^2)dx = (1/2)√(π/a)
がすぐわかります．
両辺を a で微分して a=1 とおけば，質問の本質部分
(3)　　∫[0→∞] x^2 exp(-x^2)dx
が簡単に求められます．
あとは係数などの計算だけです．

ただし，積分と微分の順序を交換して良いのか，
という問題のチェックはさぼっています．

これを繰り返せば
(4)　　∫[0→∞] x^(2n) exp(-x^2)dx
も容易です．

お礼

ありがとうございました。
こういうやり方もあるのですね！

回答No.2

mmky

kony0さんの回答は出ていますので参考程度に

ガンマ関数は、
Γ(z)=∫[t:0→+∞]e＾-t*t＾z-1 dt
の積分で定義された関数ですね。
Γ(z+1)=∫[t:0→+∞]e＾-t*t＾z dt
=-e＾-t*t＾z｜ + ∫[t:0→+∞]e＾-t*t＾z-1 dt
=z*Γ(z)　　:{e＾-t*t＾z　→0 故｝
つまり、Γ(z+1)=z*Γ(z)
Γ(3/2)=Γ(1/2+1)=(1/2)Γ(1/2)
それから
∫[t:0→+∞]e＾-t＾2 dt=(1/2)√π　
{∫[t:0→+∞]e＾-x＾2 dx=(1/2)√π}と同じですね。
t＾2=ξ　と置けば、2tdt=dξ, dt=dξ/2t
=∫[t:0→+∞](1/2)e＾-ξ*ξ＾-1/2 dξ
=∫[t:0→+∞](1/2)e＾-ξ*ξ＾1/2-1 dξ
=(1/2)Γ(1/2)=(1/2)√π
だからΓ(1/2)=√π
Γ(ｎ)=(n-1)! :nが整数の場合
このぐらい覚えておくと、kony0さんの回答が理解できますね。参考程度に

お礼

丁寧に説明してくださってありがとうございました。