次の問題の解き方を教えて欲しいです

質問

次の問題の解き方を教えて欲しいです。

問 次の関数のシュワルツ微分を求めよ

f(x)=A(1-|1-2x|^p)

この問のシュワルツ微分を求めたいのですが、シュワルツ微分では

S[f]≡f"′/f′- 3/2( f"/f′)^2

となっていまして、元の関数を３度微分をしてからあてはめなければいけないのですが

この式中の絶対値とその絶対値についているp乗をどのように扱っていけばいいかがわかりません。

微分がわかれば、シュワルツ微分は出来るとは思いますので

この微分の仕方、特に絶対値の扱い方について教えて欲しいです。

よろしくお願いします

回答No.1

R_Earl · ベストアンサー

> この式中の絶対値とその絶対値についているp乗をどのように扱っていけばいいかがわかりません。

絶対値記号に関しては場合分けして消してしまえば良いのではないでしょうか。
絶対値記号の中身がプラス(0含む)の時と、マイナスの時とで場合分けするんです。

|1 - 2x|において、
0 ≦ 1 - 2xすなわちx ≦ 1/2の時、
|1 - 2x| = 1 - 2x
1 - 2x < 0すなわち1/2 < xの時、
|1 - 2x| = -(1 - 2x) = 2x - 1

よってf(x)は

f(x) = A( 1 - (1 - 2x)^p )　（x ≦ 1/2の時）
f(x) = A( 1 - (2x - 1)^p )　（1/2 < xの時）

x ≦ 1/2の場合と1/2 < xの場合で分けて微分します。

x ≦ 1/2の時、
f'(x) = 2Ap(1 - 2x)^(p - 1)
f''(x) = …
f'''(x) = …

1/2 < xの時、
f'(x) = 2Ap(2x - 1)^(p - 1)
f''(x) = …
f'''(x) = …

お礼

ありがとうございます。

プラスの時とマイナスの時に分けてからp乗のことは考えればよかったのですね。
納得です。

回答No.2

R_Earl

ANo.1ですが、訂正です。

> 1/2 < xの時、
> f'(x) = 2Ap(2x - 1)^(p - 1)
> f''(x) = …
> f'''(x) = …

f'(x)にマイナスをつけ忘れました。
正しくはf'(x) = -2Ap(2x - 1)^(p - 1)です。
申し訳ありませんでした。