線分BDを固定します。
△ABDで正弦定理BD/sin(∠BAD)=2から∠BAD=60°か
120°。
円に内接する四角形の対角の和は180°なので、∠BCDは120°か
60°なので、∠BADを120°、同様にして∠ABCを120°と
します。(60°,120°が変わっても同じ図形ですから〕
AB=a,BC=b,CD=d,DA=dとすれば、4つの三角形の余弦
定理から、
a^2+b^2+ab=3・・(1)
b^2+c^2-bc=3・・(2)
c^2+d^2-cd=3・・(3)
a^2+d^2+ad=3・・(4)
(1)-(2)から、(a+c)(a-c+b)=0→c=a+b
(4)-(3)から、(a+c)(a-c+d)=0→d=c-a=(a+b)-a=b
すると、四角形ABCDの周りの長さ=a+b+(a+b)+b=2a+3b
ここで、2a+3b=kとおいて、b=(k/3)-(2/3)aを(1)に代入して整理
すると、7a^2-ka+k^2-27=0
a の実数条件(判別式≧0)、および、k>0を計算すると
0<k≦2√7
よって最大値は2√7
(ちなみに、a=1/√7,b=4/√7,c=5/√7,d=4/√7です)
お礼
とてもわかりやすかったです ありがとうございました。