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四角形ABCDは半径1の円に内接し対角線AC,BDの長さは それぞれ√3であるとする このとき四角形ABCDの4辺の長さの合計の最大の値をもとめよ 解答解説よろしくお願いします

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  • banakona
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回答No.2

半径が1の円に内接して、対角線の長さが共に√3ということは、円の中心をOとすると△OAC、△OBDは共に頂角が120度の二等辺三角形。 下図で、△OBDがOを中心としてθ=0~2π/3まで移動するとき、四角形ABCDの周囲の最大値を求めれば良い。 4辺の長さは4つの二等辺三角形、△OAB,△OBC,△OCD,△ODAの底辺の長さなので AB+BC+CD+DA=2sin(θ/2)+2sin(π/3-θ/2)+2sin(θ/2)+2sin(π/3+θ/2) ・・・(*) これを整理してθで微分し、合成公式を使うと、  (√7)cos(θ/2+α) となると思います(計算に自信がないので途中計算は省略)。 ただし cosα=2/√7 sonθ=√(3/7)  ・・・★ これを0にするθの値をαで表して、(*)に代入し、★を駆使して整理すると、2√7 という値が出てきます。 エクセルでグラフを書かせたら、ほぼ同じ角度で同じ最大値をとったので、おそらく合っているでしょう(笑)

noname#152335
質問者

お礼

とてもわかりやすかったです ありがとうございました。

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その他の回答 (3)

  • debut
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回答No.4

線分BDを固定します。 △ABDで正弦定理BD/sin(∠BAD)=2から∠BAD=60°か 120°。 円に内接する四角形の対角の和は180°なので、∠BCDは120°か 60°なので、∠BADを120°、同様にして∠ABCを120°と します。(60°,120°が変わっても同じ図形ですから〕 AB=a,BC=b,CD=d,DA=dとすれば、4つの三角形の余弦 定理から、 a^2+b^2+ab=3・・(1) b^2+c^2-bc=3・・(2) c^2+d^2-cd=3・・(3) a^2+d^2+ad=3・・(4) (1)-(2)から、(a+c)(a-c+b)=0→c=a+b (4)-(3)から、(a+c)(a-c+d)=0→d=c-a=(a+b)-a=b すると、四角形ABCDの周りの長さ=a+b+(a+b)+b=2a+3b ここで、2a+3b=kとおいて、b=(k/3)-(2/3)aを(1)に代入して整理 すると、7a^2-ka+k^2-27=0 a の実数条件(判別式≧0)、および、k>0を計算すると 0<k≦2√7 よって最大値は2√7 (ちなみに、a=1/√7,b=4/√7,c=5/√7,d=4/√7です)

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  • banakona
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回答No.3

#2です。 (誤)ただし cosα=2/√7 sonθ=√(3/7)  ・・・★ (正)ただし cosα=2/√7 sinα=√(3/7)  ・・・★ 失礼しました。

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noname#142902
noname#142902
回答No.1

 こんばんは。  まず、対角線がそれぞれ同じ長さなので、「長方形」か「正方形」に絞られるのではないですか? と、思うかもしれませんが、実際は「長方形」でも「正方形」でもありません。半径1の円に内接した「長方形」は対角線の長さが半径と等しくなるからです。図に描けば分かると思います。「平行四辺形」も同じく除外。  「ひし形」では対角線の長さは等しくならないのでこれも除外します。と、なると残るは「台形」でしょう。  あなたの問題のレベルからすると、中学、高校入試の問題かと思われます。私の手には負えない問題と思うので、他の方の回答を待っています。  参考にして下さい。

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