この数学の問題には公式はあるのでしょうか？
2以上150以下の整数nに対して、<n>はnの約数の中で2番目に大きい整数を表すことにします。
例えば6の約数は、1,2,3,6なので<6>=3、7の約数は1,7なので<7>=1です。
問1．2以上150以下の全ての偶数nに対する<n>の和、すなわち、<2>+<4>+<6>+・・・・・+<150>を求めなさい。
問2．2以上150以下の全ての3の倍数nに対する<n>の和、すなわち、<3>+<6>+<9>+・・・・・+<150>を求めなさい。
問3．2以上150以下の全ての整数nに対する<n>の和、<2>+<3>+<4>+・・・・・<150>を求めなさい。
なお、2以上150以下の整数nのうち、<n>=1であるものは35個です。
これをそれぞれ解いてみたのですが
全て答えは導いたものの、全問不正解でした・・・・
（全部微妙に正解の±10以内に収まる程度の間違いでした＝ただの計算ミスという・・・・）
問1は、それぞれの<n>を書き記しているうちに
答え＝1～75の和ということに気づき計算しました。
ただ、計算間違いで・・・採点後、電卓で計算し直したら合いました。
私の導き方としては、1～75までを紙に書き記して、
隣の数字同士を足してという形で出しました。
母曰く公式があるのではないかということですが、
これは開成中学の入試なのですが
これを一番間違いにくい方法で答えを導く場合は
１～１００までを足した和から１００～７６までの和を引く方法でしょうか？
それとも１～１０の和と、１～１００の和は覚えておく人も多いかと思いますが（私はそのたびに計算すればいいやというので覚えていませんが・・・）
１～１０，１～２０，１～３０，１～４０・・・・と10単位で和を覚えていたりするのでしょうか？
（開成中学を受ける人は）
問2はこれも、<n>を書き出している最中に法則性は見いだしたのですが
3の倍数は、奇数、偶数、奇数、偶数・・・となり
倍数が奇数のほうは、<n>が2ずつ増えて、1,3,5,7,・・・・で49まで。（それぞれ3の奇数の倍数を3で割ったものが<n>）
倍数が偶数のほうは、<n>が3ずつ増えて3,6,9,12,15,・・・・75と3の倍数になっている。（それぞれ3の偶数の倍数を半分にしたもの）
と分かったのですが、公式あるのかな？と思い、公式があったとしても知らないので
全部を問1の時みたいに足して答えを導き出しました。
（計算ミスはしましたが・・・・。問1、問2ともにそうだったのですが、紙の大きさの関係で、横に20個ぐらいしか数字を書けず、それぞれ20個ずつ数字を書いて、導いて、3桁の数になったものを最後に３～４個ほど足して答えを出したのですが、その最後の3桁の足し算にミスがありました（笑）ちゃんと筆算したんですけどね、パッパとやったもので（笑）
（文面で分かるかとは思いますが、実際に受験したわけではないので・・・家で気軽にやってました）
問3は
偶数の部分は問1で導き出したので
後は奇数部分を導いて、問1の答えと足せばいいのですが
（問1で計算ミスがあった時点で、これも正解するわけないのですが）
奇数の数字を全部書き出して、それぞれ<n>を求めました。
で、1の数は全部で35個ということで、偶数の<2>が1なので、奇数では全部で34個あるということで
最後まで、<n>を求めて1の数がきちんと奇数内で34個あるかも確認をしました。
結果、1つ55の<n>を5と書いていて・・・・本来は11なので、
答え合わせしたときに、6ずれてると分かり、計算ミスは無かったので
探してやっと、55の<n>が間違っていることに気づき、修正し、納得しました。
これも公式はあるのでしょうか？
それぞれ計算ミスは合ったものの解けたし、納得できない点は無かったのですが
それぞれ公式とか、もっとやりやすい、簡単な解き方あるのかなと思い質問しました。
ただ、たぶん1時間試験かと思うのですが
意外と問題数が少なく、時間配分的にも、全てを大体均等に時間分けしたら
この問題は15分ぐらいですべて解ければいいので、
その時間だと、これ以上簡単な方法は無いのかなとも思ったのですが。
（地道にコツコツ解くしか無いのかな・・・と）
補足
すいません。近似公式の内容を書いておくのを忘れました>< ベキ総和の公式で?k^mとおいたときに、mが正の数であれば近似公式を作る事ができるというものです。もちろんmの値は実数の範囲であり、整数なら近似公式ではなく正確に求める事ができます。 例を挙げると… ?k^0.5 ? 2/3n^1.5 + 1/2n^0.5 - 1/6 ?k^1.5 ? 2/5n^2.5 + 1/2n^1.5 + 1/8n^0.5 - 1/40 というような感じになります。 相対誤差はnの値が大きいほど下がっていく事が今の所分かっているのですが。m=1.5の場合は誤差の値は0～0.0005ぐらいの間で収まります。（0<n<100000の範囲)。 実は、高校の研究発表大会があるので、どれだけ精度の良い近似公式であるかを一言で表現する方法はないかと質問しました。