また軌跡です。

質問

y=2t^2+xt-1(-1≦t≦1)
のときの(x、y)のとりうる範囲を求めたいのですが。

f(t)＝2t^2+xt-1-y＝2{t+(x/4)}^2-(x^2)/8-1-y
とおいて
ここからどうすればいいのかわかりません。

「tの２次方程式が（少なくとも１つの）解を持つための係数ｘ，ｙの条件を求める」んですよね？

回答No.3

oshiete_goo · ベストアンサー

問題の要求だと
＞「tの２次方程式が（少なくとも１つの）解を持つための係数ｘ，ｙの条件を求める」んですよね？

この質問者さんの方針は正しいです．

そうすると
f(t)＝2t^2+xt-1-y＝2{t+(x/4)}^2-(x^2)/8-1-y
とおいて

軸t＝－x/4について
（Ｉ）－x/4＜－1 または 1＜－x/4　⇔x＜－4，4＜x　のとき
f(－1)・f(1)≦０
⇔(1＋x－y)(1－x－y)≦0

(II) －1≦－x/4≦1　⇔－4≦x≦4　のとき
D＝x^2＋8(1＋y)≧0
かつ
（f(－1)≧0 または　f(1)≧０）
整理して
y≧－x^2/8－1
かつ（y≦x＋1　または　y≦－x＋1）

答えは（I）または（II）を満たす領域となります．

お礼

（Ｉ）の(1＋x－y)(1－x－y)≦0
これは
1＋x≧yかつ1－x≦y（x＜－4，4＜x）
または
1＋x≦yかつ1－x≧y（x＜－4，4＜x）
ってことですよね？
ということは＃２さんの答えでは「1＋x≧yかつ1－x≦y（x＜－4，4＜x）」の条件が足りないと見てよろしいのでしょうか？

回答No.5

fushigichan

ONEONEさん、こんにちは。
＃２です。

軸が-1≦t≦1
の範囲に入っていない場合も考えないといけなかったですね。

軸のt座標<-1のとき、
f(-1)<0かつf(1)>0

軸のt座標>1のとき、
f(-1)>0かつf(1)<0

なので、この二つを合わせて
軸のt座標がt<-1,1<tときは、
f(-1)*f(1)<0
という条件に出来ます。

このとき、-x/4<-1より、x>4
-x/4>1より、x<-4なので、xがこの範囲を満たす時
f(1)*f(-1)=(1+x-y)*(1-x-y)<0
1+x-y<0かつ1-x-y>0
または
1+x-y>0かつ1-x-y<0

これは、蝶々の形の領域になっています。
これと、＃２を合わせた領域が求める領域です。
回答訂正させていただきます。ややこしくてすみません。

回答No.4

oshiete_goo

＃３ですが，補足で
＞「tの２次方程式が（少なくとも１つの）解を持つための係数ｘ，ｙの条件を求める」んですよね？

書きかたとしては，区間も明示して

f(t)＝2t^2+xt-1-y＝2{t+(x/4)}^2-(x^2)/8-1-y
とおいて
tの２次方程式f(t)＝０が　-1≦t≦1　に少なくとも１つの解を持つための係数ｘ，ｙの条件を求める”

というようにはっきり書いておいたほうがよいでしょう．

回答No.2

fushigichan

ONEONEさん、こんにちは。
方針は＃１さんのやり方でよいと思います。

f(t)=2t^2+xt-(1+y)・・・（★）
とおいてみると、
f(t)=0が、（少なくとも一つの）実数解を持つ。
つまり、この判別式が０以上になることが必要です。

さらに、横軸にt,縦軸にf(t)をとり、グラフを考えると
-1≦t≦1の範囲で、このグラフは横軸(t軸）と交わらなければならないので
f(1)≧0,f(-1)≧0
という条件も必要です。
また、このとき、グラフの軸のt座標が
-1≦（グラフのt座標）≦1
であることも必要です。

さて、（★）は変形していくと
f(t)=2(t+x/4)^2-x^2/8-1-y
となるので、グラフの軸のｔ座標は
t=-x/4です。
これが、－１と１の間にあるので
-1≦-x/4≦1
-4≦x≦4・・・（１）

f(1)=2+x-1-y≧0
　y≦x+1・・・（２）

f(-1)=2-x-1-y≧0
　y≦-x+1・・・（３）

判別式はx^2-4*2*(-1-y)
=x^2+8+8y≧0
ゆえに、y≧-x^2/8-1・・・（４）

これらをグラフに描いて(x,y)の範囲を求めればいいですね。
（１）のとき、（２）（４）の交点は(-4,-3)
（３）（４）の交点は(4,-3)
（２）（３）の交点は(0,1)なので
求める範囲は
y=x+1,y=-x+1,y=-x^2/8-1
に囲まれた部分で、境界を含む。

図を描いてみてください。かさのような形になると思います。
頑張ってくださいね。

回答No.1

naomi2002

f(t)=2t^2+xt-1-y
tの2次方程式f(t)=0が-1と1の間に実数解を持つ条件を求めます。
tを横軸、f(t)を縦軸としてグラフを考えると、f(t)のグラフは上に開いた放物線になります。
したがって、f(t)=0が-1と1の間に実数解をもつためには、
f(-1)>0, f'(-1)<0
f(1)>0, f'(1)>0
であって、かつ
判別式D=x^2+8(1+y)>=0
であることが必要十分。
以上の5つの式から、
y=<x+1,
y=<-x+1,
-4=<x=<4
y=<(x^2)/8-1

これでいいのではないでしょうか。
（あまり自信なし）

お礼

とても返事が遅れてしまって申し訳ないです。
ありがとうございました！