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これはミス出題ですか？
aは正の数とする。一次関数y=ax+bのxの変域が-2＜x＜1のとき、yの変域が-2＜y＜4となるような、定数a,bの値を求めなさい。 ・・・という問題で、解説が以下になります。 傾きaが正であることから、x=-2のときy=-2、x=1のときy=4である。よってこれらを使った連立方程式を解けばよい。 これは問題文において-2≦x≦1、-2≦y≦4ではないと成立しなくないですか？
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厳密には正しいと言い切れない説明になりますが、難しい説明ばかりもなんですので。 まず、1次関数はグラフが突然どこかでワープすることはない このことがわかっているものとして解説が書かれています、 ですから「この線分の中で、xを-2にどんどん近づけていくと、yはどこに近づくのか？」ということと（今、求めたいのはこっちのはずです） 「x = -2のときに、yはいくらなのか？」ということは一緒になってしまうのです。 これは、かなり高度な数学の話できっちり証明はできます。 が、今は感覚的にそういうものだ、と思ってもらえばいいかと。
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- alice_38
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x → -2, x → 1 の極限をとる派と ax+b は全実数で定義されている派に 二分されてきているねえ。(と、A No.3 自画自賛) 極限をとる派では、 ax+b が x = -2 や x = 1 で定義されている必要は無くて、 ax+b が x > -2 で右連続、x < 1 で左連続であることから lim[x→-2+0] ax+b = -2、lim[x→1-0] ax+b = 4 となる …といえば、簡潔かつ完璧に説明できる。 のだけれど、これを理解するには、収束と極限について 最低限の勉強が済んでないと。 ここで一から解説するのは、分量的にまず無理。 全実数で定義されている派は、 問題文に「xの変域が-2＜x＜1のとき」と書かれている以上、 与えられた -2 < x < 1 上の ax+b とは別に、自分の責任で 全実数上の関数 ax+b を定義して持ち込む必要がある。 その場合の魔法の呪文が、 ＞ -2 < x < 1 で定義された ax+b は ＞ 全実数で定義された ax+b の部分関数であり、 ＞ 対応する、全実数上の ax+b の方で考えると… であろうかと思う。これを言っておけば、 全実数上の ax+b の方には、x = -2 や x = 1 を代入する ことができる。 中学教程の模範解答では、恐らく、そんなことは考えずに 無邪気にイキナリ x = -2, 1 を代入するのが普通だろうから、 定義域の問題に気づいた質問氏は、不用意に優秀過ぎたと 言うべきかもしれない。
お礼
回答どうもありがとうございます！ お礼が遅くなり申し訳ありません。 客観的な回答群の分析参考になりました。 やはり直線が先にあり、その中で変域が設定されたと考えるべきなのですね。(自分はそれが出来ていませんでした) ちなみに自分は中学生ではありません。中高の数学の復習者です。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
一応「しょせんは一次関数なんだから, グラフを描いて考えればいい」って書いておいたんだけど, やったのかなぁ? さておき, (ある意味で) 完璧な回答を一発: 一次関数 y = ax+b で x の変域が -2 < x < 1 のとき y の変域は -2 < y < 4 である. そこで y > -2 であることと y < 4 であることから a, b の値を求めることを考える. まず y > -2 から考える. a は正であるから, a と b は (-2)a+b = -2 を満たさなければならない (証明は背理法でできる: ここでは省略). 同様に, y < 4 であることから (a > 0) なので 1a+b = 4 でなければならない.
お礼
回答どうもありがとうございます！ お礼が遅くなり申し訳ありません。 自分は今までxとyの変域をそれぞれ独立に考えており、そのため無限の直線が存在したためグラフは描けませんでした。xとyの変域が対応したものだと分かったとき、問題の意味も分かったと思います。 完璧な回答理解出来ませんでした。 関係ないですが日本語にカンマとピリオドを用いるとは中々面白い文のスタイルですね。
- gohtraw
- ベストアンサー率54% (1630/2965)
こう考えれば如何でしょう？ ｘの変域が-2＜x＜1といわれても実数は無数にあるのでどこがこの変域の端か判りませんよね。なのでひとまず等号付きで考えておいてｘ＝－２のときｙ＝－２、ｘ＝１のときｙ＝４とします。するとー２＜＝ｘ＜＝１のときー２＜＝ｙ＜＝４となるわけですが、これは等号を消しても成り立つはずです。
お礼
回答どうもありがとうございます！ お礼が遅くなり申し訳ありません。 なんとなくわかってきました。直線が先にあって、そこの中の変域なんですね。
- yasei
- ベストアンサー率18% (44/244)
ミスではないですね。問題ありません。 定義域は実数全体、値域も実数全体です。 この問題ではxがその範囲で動く時の話をしているだけで、例えばx=10でも関数自体は定義されています。 とてもいいところに疑問を持たれていると思います。そう言ったところはよく問題の穴になったりします。 ただし、その解答が正しいかは別の話です。 自明かも知れませんが、その関数が連続であることが必要になります。
お礼
回答どうもありがとうございます！ お礼が遅くなり申し訳ありません。 なるほど、一つ下に書いたお礼の内容が確信に変わりつつあります。やはり自分の間違いは、先にx、yの変域があって、そこに収まる直線を考えた点にあると思います。そうではなく直線が先にあり、そのあとでx、yの変域が設定された、と考えればよいのですね。
- mis_take
- ベストアンサー率35% (27/76)
> やはり含まないはずの-2や1を使って直線の式を導いているところが分からないですね・・。 ｙ＝ａｘ＋ｂ は実数全体のｘで定義された直線で， それを -2<x<1 に制限した線分を見ると -2<y<4 になっているということです。 x≦-2 や 1≦x の部分がなくなるわけじゃありません。
お礼
回答どうもありがとうございます！ お礼が遅くなり申し訳ありません。 ふむふむ、先に直線があって、そのあとにxとyの変域を設定したと考えれば良いのですね。自分は変域が先にあって、そこに収まる直線を考えていたため無限にある直線が出てきてしまったのかもしれません。 上記のことも自分で発言しておきながら的外れなことを言っているのではという気がしなくもないですが、自分の感覚を素直に書いてみました。
- mis_take
- ベストアンサー率35% (27/76)
> -2＜x＜1ということは-1.8≦x≦0.9かもしれないし、-1.7≦x≦0.8かもしれない 別に区間で考えなくても -2<x<1 ということは x=-1.8 や x=0.9, x=-1.7, x=0.8 などがある のように，点で考えてみてください。 x=0.8,0.9,0.99,0.999,0.9999 などは入るが，x=1 は入らない ということです。 -2<x<1 は -2≦x≦1 から X=-2 と x=1 を除いたものです。 ですから，y の変域も -2≦y≦4 から x=-2 に対応する y=-2 と x=1 に対応する y=4 を除いた -2<y<4 になります。 注意 一次関数だから，x=1 を除くと対応する y=4 が除かれますが 二次関数，たとえば y=x^2 の -2<x<1 の場合 -2≦x≦1 に対する y の範囲は 0≦y≦4 -2＜x＜1 に対する y の範囲は 0≦y<4 で，x=1 に対応する y=1 は x=-1 にも対応しているので除かれません。 下端の y=0 は x=0 に対応しているのでもちろん除かれません。
お礼
回答どうもありがとうございます！ やはり含まないはずの-2や1を使って直線の式を導いているところが分からないですね・・。
- sanori
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最初の回答者です。 ＞＞＞ －２ａ ＜ ｙ－ｂ ＜ ａ －２ａ＋ｂ ≦ ｙ ≦ ａ＋ｂ ここが分からないです。なぜ＜が≦にいきなり変わったのでしょうか。 すみません。 単なる書き間違いです。 正しくは、 －２ａ＋ｂ ＜ ｙ ＜ ａ＋ｂ です。
お礼
了解です。 もう一回最初の解答を読みなおすと・・すっきり解けてしまいますね。 でも自分でまだ100％理解できていないのでもうしばらく考えてみようと思います。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
「xの変域が-2＜x＜1」ということは, 「x は -2 より大きく 1 より小さい任意の実数を取る」ということです. 「-2＜x＜1ということは-1.8≦x≦0.9かもしれないし、-1.7≦x≦0.8かもしれないですよね」と考えるということは, あなたは -1.9 や 0.9995 が「-1.8 以上 0.9 以下である」とか「-1.7 以上 0.8 以下である」と思っているのですか? 「-2＜x＜1」は何をどうしようと「-2＜x＜1」であり, いかにあがいたとて「-1.8≦x≦0.9」や「-1.7≦x≦0.8」と考えることは不可能です. 「-2＜x＜1」と「-1.8≦x≦0.9」や「-1.7≦x≦0.8」の間には無限に等しい違いが存在します. しょせんは一次関数なんだから, グラフを描いて考えればいい. そうすれば, その解説の意味もわかると思うよ.
お礼
回答どうもありがとうございます！ ＞「xの変域が-2＜x＜1」ということは, 「x は -2 より大きく 1 より小さい任意の実数を取る」ということです. それなのにx=-2とx=1を使って直線の式を出していることが謎です。
- alice_38
- ベストアンサー率43% (75/172)
理系高２くらいまでの数学を学んだ後なら、 x = -2, x = 1 を代入するのではなく x → -2, x → 1 とカギリナク近ヅケルのだ と言えばピンとくるのでしょうが… あるいは、「写像」の定義について杓子定規に、 -2 < x < 1 で定義された ax+b は 全実数で定義された ax+b の部分関数であり、 対応する、全実数上の ax+b の方で考えると… とでも言ってみるとか。
お礼
回答どうもありがとうございます！ 下段の説明はわかりません； -2＜x＜1にはxの最小値は限りなく-2に近づき、最大値は限りなく1に近づくという意味があるのでしょうか？ -1.8≦x≦0.9や-1.7≦x≦0.8など色々なパターンが考えられ直線の正確な式は出せないのではと思います。
- lialhyd
- ベストアンサー率63% (94/149)
x=-2やx=1が変域に入っていないのに、なぜ代入した値を用いて出しているのか？ということが疑問なのですね？ 出題および解説のいずれも、なんら問題はありません。 1次関数ですから、xとyの両端同士が対応するのはいいですよね、 で、中学や高校で習う大多数の関数は、どこかで突然途切れたり、別の場所にワープしたりはしませんから yの範囲の一番下がどのあたりまでいけるのか？ということについては、やはりx=-2を代入して求めるのが一番確実なのですね。 「変域に入っていないのに代入する」ことの説明がちょっとわかりづらいかもしれませんが、これでいかがでしょうか。
お礼
回答どうもありがとうございます！ そうです、そこが疑問です。 -2＜x＜1ということは-1.8≦x≦0.9かもしれないし、-1.7≦x≦0.8かもしれないですよね？ それをなぜ-2≦x≦1としてしまえるのだろうと思います。
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お礼
回答どうもありがとうございます！ お礼が遅くなり申し訳ありません。 まだ完全に理解できているとは言い切れませんが、同様な問題が出てきた時はそういうものなんだと割り切ることによって処理したいと思います。いつかちゃんと理解できることを願って・・