微分の問題なのですが

質問

この関数を微分するのですが。
y=log|(1-sinx)/(1+sinx)|

回答No.3

sanori · ベストアンサー

最後の１行、書き間違えました。

　＝　－２cosｘ／cos^2ｘ
　＝　－２／cos^2ｘ
ではなく

　＝　－２cosｘ／cos^2ｘ
　＝　－２／cosｘ
です。

回答No.2

sanori

こんにちは。
この計算をするには、

・（sinｘ）’＝cosｘ
・（cosｘ）’＝－sinｘ
・（log|ｘ|）’＝１／ｘ
・合成関数の微分　dy/dx = dy/dt・dt/dx
・商の微分　（f/g）’＝ （f'g - fg'）/g^2
の知識が必要です。

ｔ　＝　（１－sinｘ）／（１＋sinｘ）
と置くと、
（商の微分）
ｄｔ／ｄｘ　＝　（分子の微分×分母　－　分子×分母の微分）／分母の２乗
　＝　｛－cosｘ（１＋sinｘ）　－　（１－sinｘ）cosｘ｝／（１＋sinｘ）^2
　＝　｛－cosｘ　－　cosｘsinｘ　－　cosｘ　＋　sinｘcosｘ｝／（１＋sinｘ）^2
　＝　－２cosｘ／（１＋sinｘ）^2

（合成関数の微分）
ｙ’＝　ｄｙ／ｄｘ
　＝　ｄｙ／ｄｔ・ｄｔ／ｄｘ
　＝　１／｛（１－sinｘ）／（１＋sinｘ）｝・｛－２cosｘ／（１＋sinｘ）^2｝
　＝　－２（１＋sinｘ）cosｘ／｛（１－sinｘ）・（１＋sinｘ）^2｝
　＝　－２cosｘ／｛（１－sinｘ）・（１＋sinｘ）｝
　＝　－２cosｘ／（１－sin^2ｘ）
　＝　－２cosｘ／cos^2ｘ
　＝　－２／cos^2ｘ

計算に自信がないので、検算してください。

回答No.1

info22

対数の真数は正である条件、分数の分母の条件、|sinx|≦1から
sinx≠±1,|sinx|<1
したがって、(1-sinx)>0、(1+sinx)

y=log|(1-sinx)/(1+sinx)|
=log((1-sinx)/(1+sinx))
=log(1-sinx)-log(1+sinx)
logが自然対数として
y'={(1-sinx)'/(1-sinx)}-{(1+sinx)'/(1+sinx)}
=-{cosx/(1-sinx)}-{cosx/(1+sinx)}
=-(cosx)*2/{1-(sinx)^2}
=-2(cosx)/(cosx)^2
...
後はcosxを約分すれば良いですね。

お礼

とてもわかりやすい解法ありがとうございました