素数に関する質問です。

質問

素数に関する質問です。

aとbが共通因数を持たないならば、a^2＋b^2の奇数の素因数はどれも4n＋1の形をしている。

このことはどのようにして証明できるのでしょうか？

回答No.1

yoikagari · ベストアンサー

a^2＋b^2の奇数の素因数pをとる。
pが4で割ると3余る素数と仮定する。
a^2+b^2≡0 (mod p)

aがpで割り切れると仮定すると
b^2≡0 (mod p)
pは素数だからb≡0 (mod p)
よって、bもpで割り切れる。
したがって、a,bが公約数pを持つことになり
a,bが共通因数を持たないという事実に反するから不合理

bがpで割り切れると仮定すると
a^2≡0 (mod p)
pは素数だからa≡0 (mod p)
よって、aもpで割り切れる。
したがって、a,bが公約数pを持つことになり
a,bが共通因数を持たないという事実に反するから不合理

よってa,bともにpでは割り切れない。

a^2≡-b^2 (mod p)
両辺を(p-1)/2乗すると
a^(p-1)≡(-1)^{(p-1)/2}・b^(p-1) (mod p)
pは4で割ると3余るので、p=4k+3とかける
(-1)^{(p-1)/2}=(-1)^(2k+1)=-1だから
a^(p-1)≡-b^(p-1) (mod p)
a,bはpで割り切れないから、フェルマーの小定理より
a^(p-1)≡b^(p-1)≡1 (mod p)がいえるから
1≡-1 (mod p)となって不合理

これはpが4で割ると3余る素数と仮定したことから起こった。
よって、pは4で割ると1余ることがわかる。