この問題を解いてください。

質問

ＡＢを直径とする円Ｏがある。弧ＡＢを三等分する点をＡから順にＣ、Ｄとし、ＢＤの中点をＭとする。ＡＭとＯＣ、ＯＤとの交点をそれぞれＥ、Ｆとする。ＯＡ＝4のとき、ＣＥの長さと、△ＯＥＦと四角形ＯＢＭＦの面積の比を求めよ。
という問題です。

お願いします。

回答No.2

debut · ベストアンサー

問題はＣ Ｅの長さだったのですね。ブラウザの文字を小さくして
いたので、Ｃ ＥがＯ Ｅに見えました。

円周角の定理から、
∠ＡＯ Ｃ＝∠ＡＢＤ＝60°でＣ Ｏ//ＤＢ
ＯはＡＢの中点なので、中点連結定理からＯ Ｅ＝(1/2)ＢＭ＝１
よって、Ｃ Ｅ＝４－Ｏ Ｅ＝３

面積の比を求める（１方法）
△Ｏ ＥＦ∽△ＤＭＦより、ＥＦ：ＭＦ＝１：２
したがって、ＥＦ，ＭＦをそれぞれ底辺とみれば、△Ｏ ＥＦと
△Ｏ ＭＦの面積比は１：２です。
次に、△Ｏ ＭＥ(=△Ｏ ＥＦ＋△Ｏ ＭＦ)の底辺をＯ Ｅ，△Ｏ ＢＭ
の底辺をＢＭとみれば、両者の高さは等しいので、面積の比は底辺
の比１：２になります。
以上から、△Ｏ ＥＦの面積を１とすれば、△Ｏ ＭＦのそれは２、
△Ｏ ＭＥが３で、△Ｏ ＢＭは６、よって、四角形Ｏ ＢＭＦは８
となります。つまり、１：８．

回答No.1

debut

半円の３等分点ということと、円周角の定理から、
∠ＡＯ Ｃ＝∠ＡＢＤ＝60°がわかります。
つまり、Ｏ Ｃ//ＢＤであるし、△Ｏ ＢＤは正三角形です。
すれば、△ＡＢＭで中点連結定理からＯ Ｅが出ます。

また、△Ｏ ＥＦ∽△ＤＭＦからＥＦ：ＦＭがわかって、
△Ｏ ＦＥと△Ｏ ＭＦの面積比が求められ、△Ｏ ＢＭの面積が
△Ｏ ＭＥ(=△Ｏ ＦＥ＋△Ｏ ＭＦ)の２倍なので、問題が解けます。