ベクトルの問題で・・・

質問

ベクトルの問題で分からないところがあったので質問させてください。

OAとCBは平行、CB<OA, OA=1 OC=AB=lの等脚台形OABCがある。
点Oから辺ABまたはその延長上に垂線を下ろし、その交点をDとし、
OA↑=a↑、OC↑=c↑、a↑・c↑=mとする。

(１)ベクトルAB↑、OD↑をa↑,c↑,l,mを用いて表せ。

(２)点Dが辺ABを２：１に内分し、かつ∠AOCの二等分線上にあるとき、l,mの値を求めよ。

という問題で、(２)の解説がいまいち理解できません。。

解説によると、Dが∠AOCの二等分線上にあるとき、

(1-2sm)：s＝|c↑|：|a↑|＝ｌ：１
∴　1-2sm=sl

と書いてあるのですが、

なぜこの比が成り立つのか分かりません。

(１)の解説で、OD↑＝(1-s)OA↑+sOB↑とおくと、
OD↑=(1-2sm)a↑+sc↑と変形しているので、この1-2smとsが関係してくるということは想像つくのですが

なぜその比が|c↑|：|a↑|になるのか分かりません・・・。

どなたか教えてください＞＜

回答No.1

mko900 · ベストアンサー

補助線ＣＡを引き垂線ＯＤとの交点をＰとします。
するとＯＤベクトルはODベクトル=(1-2sm)aベクトル+scベクトルとなるので
ＣＰ：ＰＡ＝1-2sm：ｓとなります。
またＯＰは
角の二等分線なので角の二等分線の性質より
（http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/urawaza/angle.htmを参照）
ＯＣ：ＯＡ＝ＣＰ：ＰＡ
となります。
よって(1-2sm)：s＝|c↑|：|a↑|がなりたちます。

参考になれば幸いです。

補足

なぜＣＰ：ＰＡ＝1-2sm：ｓとなるのでしょうか・・・？

もしよければおしえてください＞＜

回答No.3

htms42

（２）幾何的にやってみます。
ＡＢ，ＯＣを延長して交点をＥとします。
△ＯＡＥは正三角形になります。
（ＯＤ⊥ＡＢ，∠ＡＯＤ＝∠ＥＯＤから∠Ａ＝∠Ｅ、等脚台形であることから∠Ｏ＝∠Ａ、よって∠Ｏ＝∠Ａ＝∠Ｅ）
ＡＤ＝ＤＢ、ＡＤ：ＤＢ＝２：１よりＡＢ：ＢＥ＝３：１です。
ＯＡ上に点Ｆを取りＦＣ||ＡＢとします。ＯＦ：ＦＡ＝３：１です。
ＡＢ↑＝ＦＣ↑、ＯＦ↑＋ＦＣ↑＝ＯＣ↑より
ＡＢ↑＝ＯＣ↑－(3/4)ＯＡ↑
です。
ｌ＝３／４
ｍ＝３／８

（１）ではＤは垂線という条件だけですが（２）ではＯＤが∠Ｏの二等分線になっているとか辺の比が２:１であるとかがわかっていますので幾何的にわかってしまいます。
幾何的にではなくてベクトルでということであれば（１）でＡＢ↑，ＯＡ↑をＯＡ↑、ＯＣ↑で表すという所に難しさがあります。その部分を通り抜けたのであれば（２）でだけ質問が出るのは「？」です。
（１）のところで
＞想像が付く
という程度で収めてしまっているから（２）で沈没してしまうのではないでしょうか。

お礼

なるほど・・・

そういう考え方もあるんですね。

参考になりました。ありがとうございました

回答No.2

mko900

わかりにくくてすみませんでした。補足します。
まず
ＯＤベクトル上にＰがあるわけですよね。
すると
ＯＰ↑=kＯＤ↑＝ k(1-2sm)a↑+ksc↑（ｋは実数）・・(1)
とかけます。
次に
ＣＰ：ＰＡ＝Ｘ：（１－Ｘ）・・・(2)とおいてみます。
すると
ＯＰ↑=ＯＣ↑＋Ｘ/Ｘ＋（１－Ｘ）ＣＡ↑
　　　=ＯＣ↑＋Ｘ（ＯＡ↑ーＯＣ↑）
　　　=ＸＯＡ↑＋（１－Ｘ）ＯＣ↑・・・(3)
とかけます。
(1)と(3)の係数を比較します。
すると
Ｘ＝　k(1-2sm)、１－Ｘ＝ks・・・(4)
となりますよね。
したがって(2)は(4)より
ＣＰ：ＰＡ＝k(1-2sm)：ks
とかけます。
ここでＫは割ることができます。（４：２を２：１にするのと同じ）
ゆえにＣＰ：ＰＡ＝1-2sm：ｓとなります。

最初に表現したＯＰベクトルは実数倍表現で
次にあらわしたＯＰベクトルはベクトル方程式で
表現しています。

参考になれば幸いです。

お礼

なるほどー
そういうことだったんですね

分かりやすい説明ありがとうございました！

おかげで勉強がんばれそうです。

本当にありがとうございました＞＜