積分の計算を教えてください

質問

｛1/2π∫(０→２π)(Vsinθ)^2dθ｝＾1/2

はどのように計算したらよいでしょうか？
見づらいですが｛｝の中の積分式がすべて√の中に入っています。
どなたか解き方の詳細をお願いします。

回答No.4

alice_38

質問を否定しても始まらないので、
訊かれたことに答えてみましょう。

与式 = √{ (1/2)π(V^2) S },
S = ∫[θ=0～2π] (sin θ)^2 dθ

という問題ですから、S の積分ができればよい。
計算は、#2 で合っています。

S = ∫[θ=0～2π] (sin　θ)^2 dθ
　= ∫[θ=0～2π] { 1 - cos(2θ) }/2 dθ
　= (1/2) [ θ - (1/2)sin(2θ) ][θ=0～2π]
　= (1/2) [ 2π ]

ですから、

与式 = √{ (1/2)π(V^2) π }
　= Vπ/√2

です。

回答No.3

info22

#2です。

A#2の補足の回答について

>Vは定数で、積分前の1/2πはです。
1/2πは「1/(2π)」の間違いだと思います。
Vrmsの定義は「root mean square」の言葉どおり
関数の自乗を一周期にわたって積分し、積分区間で割って平均化して
平方根をとったもので、日本語訳として実効値(RMS値)と呼ばれています。
なので、質問者さんの問題の書き間違いでなければ、問題の作成者（宿題・課題を出した先生）の出題ミスと考えられます。
そうであれば、出題者に「1/(2π)」ではないかと問い合わせて確認してみてください。

実効値のことは、日本中、世界中の電気回路や交流回路・交流理論や関連分野の書籍や参考書などに載っていることです。この分野に関連した専門方、仕事に従事している人、教育者など誰もが常識として持っている知識であり、家庭の電気料金の計算とも密接な関係があります。
「(1/2)π」としたら、実用的な意味のない計算になってしまいます。

回答No.2

info22

>どのように計算したらよいでしょうか？
>見づらいですが
>｛｝の中の積分式がすべて√の中に入っています。

√の方は積分と関係ないので、積分だけの質問にして、√位、自分でおやりください。

>1/2π∫(０→２π)(Vsinθ)^2dθ
Vは定数ですか？

積分の前の
>1/2π
これは
(1/2)π or 1/(2π)どちらですか？

補足に回答願います。

多分、実効値を求める計算だろうと思うが如何ですか？

交流理論や電気回路の教科書中や演習問題として必ず載っている
と思います。

Vrms=√{(1/(2π))∫[0→2π](Vsinθ)^2dθ}
=V√{(1/(2π))∫[0→2π](sinθ)^2dθ}
=V√{(1/(4π))∫[0→2π](1-cos(2θ))dθ}
=V√{(1/(4π))[θ-(1/2)sin(2θ)][0→2π]}
=V√{(1/(4π))[2π]}
=V/√2

補足

説明ありがとうございます。
Vは定数で、積分前の1/2πは(1/2)πです。

回答No.1

nag0720

｛1/2π∫(０→２π)(Vsinθ)^2dθ｝＾1/2
=V｛1/2π∫(０→２π)(1-cos(2θ))/2dθ｝＾1/2
=V｛1/2π[θ/2-sin(2θ)/4][０→２π]｝＾1/2
=V｛1/2π^2｝＾1/2
=(√2/2)Vπ