不等式の問題です!!!

質問

kを正の整数とする。
5n^2-2kn+1<0を満たす
整数nが
ちょうど1個であるようなkを
すべて求めよ。

解法お願いします!

答えはK=4,5に
なるんですが…

回答No.3

debut

f(n)=5n^2-2kn+1 （f(n)のグラフを考えながら）とおくと、
f(0)=1
f(n)=0の２解をα、β（α＜β）とすると、解と係数の関係から
α＋β＝2k/5＞０（ｋは正の整数なので）
αβ＝1/5
f(n)＜０を満たす整数ｎがちょうど１つなので、上のことから
０＜α＜１、１＜β＜２
つまり、f(1)＜０かつf(2)＞０
f(1)=6-2k、f(2)=21-4kより、３＜ｋ＜21/4

んんー、これでいいのかなあ？

回答No.2

i8oi

#1さんの解説で答え出してみたら5<K^2<20から答えはK=3,4となりました(T T)どうして～

口出しスミマセン。

回答No.1

de_tteiu

5n^2-2kn+1<0
→(k-√(k^2-5))/5<n<(k＋√(k^2-5))/5

ですから、まず
k^2-5>0
が、求まります

また、
(k＋√(k^2-5))/5-(k-√(k^2-5))/5＝2√(k^2-5)/5 < 2
となるので（2以上だと必ずnが２個以上になる）
√(k^2-5)<5
となります

そうするとk=3,4,5に絞られて、後は一つずつ検証すればいけるでしょう

もう少し賢いやり方もあるかもしれませんが