aの範囲

質問

f(x)=x^2-(a^2-a+1)x+2(a^2-a-1)

a＞2とする。不等式f(x)＜0をみたす整数xがちょうど3個となるようなaの値の範囲を教えてください。

回答No.3

naniwacchi · ベストアンサー

#2です。
補足への回答ありがとうございます。

次のような方針で解いてみました。
グラフを描きながら、じっくり解いていく必要があります。

(1) a^2- aが共通なので、これを Aとでも置くこととします。
a＞ 2という条件があるので、Aの値にも条件がつきます。

(2) f(x)を Aで書きなおすと、f(x)= x^2- (A+ 1)x+ 2(A- 1)となります。
・2次関数のグラフの問題ですので、軸と頂点を考えます。
（頂点の y座標）＜ 0となることと（判別式）＞ 0となることは同じ意味ですので、
どちらからか Aのとりうる範囲を考えておきます。（さらに限定されないかどうか）
・f(x)を次のように書き換えてみます。
f(x)= (x^2- x- 2)+ A* (-x+ 2)
この式より、y= f(x)のグラフは Aの値に関係なく、定点(2, 0)を通ることがわかります。
これがこの問題を解く上での最大のポイントになります。

(3) 「最大のポイント」から条件を絞り込みます。
y= f(x)のグラフは、定点(2, 0)を必ず通るということですので、
「3個の整数解」は次のどちらかとなるはずです。
(a) x= 1, 0, -1の 3個
(b) x= 3, 4, 5の 3個

Aの値と軸の位置から (b)の場合に限定されることがわかります。
すると、f(5)＜ 0であり、f(6)＞ 0でなければならないことがわかります。

答えとなる不等式には、√29という数字が現れました。

お礼

ありがとうございます。

回答No.5

noname#108210

f(x)=(x-(a^2-a-1))(x-2)　と因数分解してグラフで考えてみてください。

お礼

ありがとうございます。

回答No.4

de_tteiu

やっぱ、暗算だけだとミスしますね (笑

#3さんがおっしゃるように√29　が出てきました

ちなみにM=a^2 -a-1　と置けばあっという間に出てきます

お礼

ありがとうございます。

回答No.2

naniwacchi

念のため、確認させてください。

xの係数：-(a^2-a+1)と 定数項：2* (a^2-a-1)ですが、
このとおりでよろしいでしょうか？

最後の項「１」の前についている符号が違っているのですが、
もしかすると同じ式になるのではないかと。
（括弧でわざわざ囲まれているので）

補足

この通りでよろしいようです。

回答No.1

de_tteiu

3<a≦(1+5√2)/2