オイラーの運動方程式
∂ｖ/∂t+(ｖ∇)ｖ＝Ｋ-1/ρ・gradｐ ・・・(1)
(ｖ：流れの速度,Ｋ：外力,ｐ：圧力,ρ：密度)とする。(二次元の場合で考える事にする)
ｐ=ｐ(x,y)
ｖ=(u,v) (u:ｖのx成分分速度,v:ｖのy成分分速度)と考えて(1)を成分表示すると
∂u/∂t+u(∂u/∂x)+v(∂u/∂y)=Kx-1/ρ・∂ｐ/∂x・・・(3)
∂v/∂t+u(∂v/∂x)+v(∂v/∂y)=Ky-1/ρ・∂ｐ/∂y・・・(4)
条件：流れが定常的であると仮定すれば、∂ｖ/∂t=０
外力がポテンシャルVを持つと仮定すると、Ｋ=-gradVと表せる。
条件を考慮し、式の表現を少し変えると(3),(4)式は
u(∂u/∂x)+v(∂v/∂x)-v(∂v/∂x-∂u/∂y)=-∂V/∂x-1/ρ・∂ｐ/∂x・・・(3')
u(∂u/∂y)+v(∂v/∂y)+u(∂v/∂x-∂u/∂y)=-∂V/∂y-1/ρ・∂ｐ/∂y・・・(4')と表す事が出来る。
(3')dx+(4')dyを作ると
d｛(u^2+v^2)/2｝+dV+dｐ/ρ=(∂v/∂x-∂u/∂y)(vdx-udy)・・・(5)
定常流を仮定しているからvdx-udy=0となるので(5)の右辺=0となる。
よって(5)の両辺を積分してu^2+v^2=q^2（u,vの合速度）と書き換えれば
(q^2)/2+V+∫dｐ/ρ=Const (ベルヌーイの式)が得られる。
