この熱力学の問題がさっぱりなので教えてください！

質問

大気の構造が下の図のようになるとする。境界の位置の半径をrcとする。

問題2-1
密度の逆数v＝1／ρを比体積という。これは単位質量あたりの体積を表す。熱力学の第一法則はdQ＝dU＋Pdvである。断熱域での圧力Pと比体積vの関係を求めなさい。ただし、水素のような2原子分子の内部エネルギーは単位質量当たりU＝5Pv／2で与えられる。積分定数はrcにおける比体積vcと圧力Pcを用いて表しなさい。

問題2-2
断熱域での圧力Pと密度ρの関係を求めなさい。定数はrcにおける密度ρcと圧力Pcを用いて表しなさい。

問題3-3
断熱域での温度Ｔと密度ρの関係を求めなさい。定数は等温域の温度Ｔ0とrcにおける密度ρcを用いて表しなさい(圧力Pcを消去)。

問題2-4
大気の静水圧平衡の式は
－dP／dr－GMρ／r^2=0‥‥(1)
で表される。ここでMは原始惑星の質量、rは惑星の中心からの距離である。
(1)問題2-2の結果を用いて(1)式の圧力を消去して、断熱域での密度に関する微分方程式を解きなさい。
(2)その微分方程式を解いて断熱域での密度ρをrの関数として求めなさい。
(3)断熱域での圧力Pをrの関数として求めなさい。
(4)断熱域での温度Ｔをrの関数として求めなさい。

回答No.1

drmuraberg · ベストアンサー

問題 2-2
dQ = dU + pdV (1)

２原子分子の内部エネルギU = (5/2)*RT = (5/2)*PV より
dU = (5/2)*d(pV) = 5pdV/2 + 5Vdp/2

これを(1)式に代入し、断熱 dQ = 0 の条件を入れて整理すると
7pdV/2 + 5Vdp/2 = 0
よって
dp/p = -(7/5)*dV/V
∫dp/p = -(7/5)∫dV/V
積分条件は Ｖｃ の時 Ｐｃ であるから
ln(P/Pc) = -(7/5)ln(V/Vc) = ln (V/Vc)^(-7/5) = ln(Vc/V)^(7/5)

P/Pc = (Vc/V)^(7/5)

P = Pc*(Vc/V)^γ　　γ=7/5　（他の導出法より、２原子分子ではγ= Cp/Cv=7/5）
ρ= 1/V より

P = Pc* (ρ/ρc)^γ (2)
Poissonの式と呼ばれています。

問題 2-3
PV = RT、つまりP = RＴ*ρ、Pc = RTo*ρc
ＲＴρ = RTo*ρc*(ρ/ρc)^γ

T = To*(ρ/ρc)^(γ-1) (3)
（P/Po = (T/To)^(γ/(γ-1))もPoissonの式と呼ばれます。）

問題 2-4
Pはρの関数P(ρ)、ρはrの関数ρ(r)であるから　dP/dr = dP/dρ*dρ/dr
として、（２）式を代入。ρとrに付いての微分方程式を解く。
結果　ρ(r) ∝ r^(1-γ) 検算をしてください。

以下は問題 2-3の要領で。
数式を見やすくするため v → V としてあります。

お礼

どうもありがとうございました！