流体力学の問題を鏡像法を使って解く。

質問

yz面が壁であって流体はx>0にあるとする。点(a,0,0)に湧き出し口があるときの流れを求めよ。

ただし、縮まない流体の渦なし流として、
速度場は速度ポテンシャルを使ってv=▽Φ(vはベクトル)
Φはラプラス方程式▽^2Φ=0に従う
とする。

という問題で、鏡像法を使うらしいのですが・・・。
点(-a,0,0)にも同じ湧き出し口をおくと、yz面上でv_x=0となることを利用すればよいというのですが、
v_x=0という境界条件がどこから出てくるのかがわかりません。(a,0,0)の湧き出し口から流体が壁にぶつかって跳ね返ってきて・・・という気がするのですが、v_xが境界面で0となることが厳密に理解できなくて困っています。

回答No.1

tomtak · ベストアンサー

境界面では、壁にぶつかる流れと、壁から跳ね返ってくる流れが打ち消し合って、
トータルで速度のｘ成分はゼロになる、
という考えでは駄目でしょうか？

あるいは、境界面に接した微小な立方体を考えます。
立方体に流入(流出)する流れを考えるとき、
立方体は壁に接しているので、壁側の側面からは、
流れが入ってこれないし、出て行くことも出来ません。

つまり、立方体の壁側の側面では、速度成分が0ということになります。

境界面では、いたるところで上の考えが成り立つので、
v_xが境界面で0となることが言えると思います。

どうでしょうか？

お礼

>境界面では、壁にぶつかる流れと、壁から跳ね返ってくる流れが打ち消し合って

直観的にはそう思っていたのですが、「斜めに入射して斜めに反射してきて、x成分は本当にきっかり打ち消しあうのかなあ」とか考えちゃいました。

＞あるいは、境界面に接した微小な立方体を考えます。
立方体に流入(流出)する流れを考えるとき、
立方体は壁に接しているので、壁側の側面からは、
流れが入ってこれないし、出て行くことも出来ません。

あ、これなら納得できました。(^^)
ありがとうございます。

回答No.2

ElectricGamo

物理的には#1さんが回答されてますので、ここでは式から出します。

yz面を対称にして同じ湧き出しがあるので Φ(x,y,z)=Φ(-x,y,z) です。

xで偏微分するとx方向の速度が出ます。

∂Φ(x,y,z)/∂x=-∂Φ(-x,y,z)/∂x → v_x(x,y,z)=-v_x(-x,y,z)

x=0とすると v_x(0,y,z)=-v_x(0,y,z) → v_x(0,y,z)=0

ですので、v_xは境界面上で0になります。

お礼

ありがとうございます。電磁気で鏡像法は一度勉強していたのですが、まさか流体で出てくるとは思いませんでした。