軌跡

質問

ax-y=a/2・・・１
x+ay=a・・・２
a≠0

１、２の交点の軌跡を求めたいのですがどのように行えばいいですか？
ｘ＝・・・、ｙ＝・・・でやるとaが消去できないです。

回答No.4

Lylyco · ベストアンサー

No.2のＬｙｌｙｃｏです。

先ほどの答えに付け加えさせてもらいます m(_ _)m

a≠0　ですから、1、2から導き出した式をそれぞれ ≠0　とします。

それらの式を解くと（x,y)=(0,0)(1/2,1)　が出、この２点は軌跡に含まれない、となります。

うっかりしててごめんなさいね。

お礼

ＯＨ！ありがとうございます。
そうかそうか、気配りをちゃんとしとかないと見落としちゃいますね。
どうもありがとうございました！

回答No.3

arit

交点を（X,Y)とすると、この座標は１，２を満たすので、そのまま
　aX-Y=a/2
　X+aY=a
が成り立ちます。で、aが消去できれば、X,Yの関係式、つまり奇跡の方程式、いえ軌跡の方程式が求まります。
２式ともaについて整理して、
　a(X-1/2)=Y
　a(Y-1)=-X
a=にして代入しても良いし、各辺で割っても良いし、
　(X-1/2)/(Y-1)=Y/-X
から
　X(X-1/2)+Y(Y-1)=0
で
　(X-1/4)^2+(Y-1/2)^2=5/16
と、中心(1/4,1/2)半径√5/4の円（の一部）になります。
実は、２点(0,0),(1/2,1)が２直線の交点になれません。

図形としては、１は定点(1,0)を通り傾きa、２は定点(0,1)を通り傾き-1/aの直線なので、(1,0),(0,1)を通る直交する直線の交点の軌跡、そう、直径に対する円周角（直角）の性質で軌跡は円になるわけです。

やっぱり数学って面白い・・・

お礼

なるほど、奇跡の方程式ですね。磨いて輝石にしよう。って・・・ぉぃ。
ありがとうございました。
＞実は、２点(0,0),(1/2,1)が２直線の交点になれません。
確かに成り立ちませんが、どうやって見つけたらよいのですか？

回答No.2

Lylyco

1の式から a=y/x-1/2（xマイナス2分の1分のy）
2の式から　a=x/1-y（1マイナスｙ分のｘ）

と変形します。そして両式連立して　

x^2+y^2-1/2x-y=0（ｘ2乗プラスｙ2乗マイナス2分の1ｘマイナスｙイコール0）

つまり円となりますね。頑張ってくださいｐ(*^-^*)ｑ

お礼

ありがとうございました。
がんばります！（￣^￣）＼

回答No.1

secret-goo

１，２をとけばｘ＝・・・、ｙ＝・・・とでたんですよね？
つまりそれが交点の座標なので、ｘ＝・・・、ｙ＝・・・を式３，４として連立させてaを消せばいいのです。
そうして出てきた式、ｙ＝・・・（xの式）が求める軌跡です。

補足

ｘ＝(a^2+2a)/(2a^2+2)
ｙ＝(2a^2-a)/(2a^2+2)
ここからでは私の能力では無理でした。
１からa=y/[x-(1/2)]と出して代入するのも大変すぎます。
できないことは無いでしょうが、綺麗にできる方法があるはずなんだけどなぁ。