複雑な連立方程式

質問

現在、三角関数を含む連立方程式を解いているのですが、解けなかったため、ご指摘いただければうれしいです。

2l0 + l1cos(a1) + l2cos(a1+b1) - l1cos(a2) - l2cos(a2+b2) = 0
l1sin(a1) + l2sin(a1+b1) - l1sin(a2) - l2sin(a2+b2) = 0

l0,l1,l2,a1,a2は任意の定数で、b1,b2を求めるものです。

いろいろ公式を当てはめてみましたが、糸口が見つかりません。
教えていただけないでしょうか。

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

これはb1とｂ2を未知数、その他を既知と考えてよいのですね。
p=a1+b1、q=a2+b2、
e=(2l0 + l1cos(a1) + l1cos(a2))/l1
f=(l1sin(a1) - l1sin(a2))/l1
とすると
問題の2つの式は
cosp-cosq=e　　(1)
sinp-sinq=f　　(2)
(1)より　　cosp=e+cosq
(2)より　　sinp=f+sinq
2乗して足し合わせると
1=e^2+f^2+2ecosq+2fsinq+1
よって
ecosq+fsinq=-(e^2+f^2)/2　　　(3)
e,fは既知でいわゆる単振動の合成によってとけます。
偏角をcとすると(3)は
(e^2+f^2)^(1/2)sin(p+c)=-(e^2+f^2)/2
p=arcsin(-(e^2+f^2)^(1/2)/2)-c
右辺は既知ですのでとけました。
qは(1)または(2)にpを代入して求めます。
ＱＥＤ

お礼

無事、連立方程式を解くことができました。
任意のものをまとめてしまうことでかなりすっきりした式にできるんですね。
丁寧に回答していただきありがとうございました。

回答No.3

info22

#1です。
A#1の最後の行の先頭の「sin」は誤植ですので削除して下さい。

>４つの式にして、sin(b1),cos(b1),sin(b2),cos(b2)の連立方程式

この４つの式は
sb1=sin(b1),cb1=cos(b1),sb2=sin(b2),cb2=cos(b2)とおくと
次のようになります。

2*I0+I1*cos(a1)+I2*(cos(a1)*cb1-sin(a1)*sb1)-I1*cos(a2)-I2*(cos(a2)*cb2-sin(a2)*sb2)=0

I1*sin(a1)+I2*(sin(a1)*cb1+cos(a1)*sb1)-I1*sin(a2)-I2*(sin(a2)*cb2+cos(a2)*sb2)=0

sb1^2+cb1^2=1

sb2^2+cb2^2=1

あとは根気良く計算ミスをしないように

連立方程式を解くだけです。

係数や定数がすべて文字なので、解の式が長大な式になるかと思います。
（具体的な定数で与えられるなら解の式もそんなに長くならないと思いますが。。。）

お礼

自分で式を追加するという発想がありませんでした。確かにこれで4つの変数、4つの式の連立方程式になり、解くことができますね。
ご回答いただきありがとうございました。

回答No.1

info22

sin,cosの偏角は多価関数のためb1,b2の範囲を主値の範囲に限定すること。
sin（A+B),cos(A+B)の形は全て加法定理で分解すること。
次の2つの式を追加して
sin^2(b1)+cos^2(b1)=1
sin^2(b2)+cos^2(b2)=1
４つの式にして、sin(b1),cos(b1),sin(b2),cos(b2)の連立方程式として
解けばいいと思います。|sin( )|≦1,|cos( )|≦1を満たす解について
sin予め指定した範囲のb1,b2を求めればよいでしょう。