可換

質問

A={{a[1, 1], a[1, 2], a[1, 3]},
{a[2, 1], a[2, 2], a[2, 3]},
{a[3, 1], a[3, 2], a[3, 3]}}
と交換可能（可換）な正方行列をすべて求めてください．

回答No.3

grothendieck

3行3列行列の場合、
　AB =BA
をＢを未知数とする連立方程式として数式処理で解くと、
[b11=(a21*(%r8*a33^2+a11*(-%r8*a33-%r9*a32)+a22*(%r8*a11-%r8*a33)+%r9*a32*a33+%r8*a23*a32)+a31*(a23*(-%r8*a33-%r9*a32+%r8*a11)+a21*(-%r7*a33+%r7*a22+%r9*a12))+a21^2*(-%r7*a32-%r8*a12)+%r7*a23*a31^2)/(a21*a31*(a22-a33)-a21^2*a32+a23*a31^2),b21=%r9,b31=%r8,b12=(a31*(a12*(-%r9*a33+%r8*a23+%r9*a22)+%r9*a13*a32)+a21*(-%r8*a13*a32-%r9*a12*a32))/(a21*a31*(a22-a33)-a21^2*a32+a23*a31^2),b22=-(a21*(-%r8*a33^2+a22*(%r8*a33+%r9*a32-%r8*a11)-%r9*a32*a33+%r8*a11*a33)+a31*(a22*(%r9*a33+%r9*a11)+a23*(%r8*a33-%r8*a22)+a21*(%r7*a33-%r7*a22-%r8*a13-%r9*a12)-%r9*a11*a33-%r9*a22^2)+a21^2*(%r7*a32+%r8*a12)+(%r9*a13-%r7*a23)*a31^2)/(a21*a31*(a22-a33)-a21^2*a32+a23*a31^2),b32=(a21*(-%r8*a32*a33-%r9*a32^2+%r8*a11*a32)+a31*(%r8*a23*a32+%r9*a22*a32-%r9*a11*a32-%r8*a12*a21)+%r9*a12*a31^2)/(a21*a31*(a22-a33)-a21^2*a32+a23*a31^2),b13=(a21*(a13*(-%r8*a33-%r9*a32+%r8*a22)-%r8*a12*a23)+(%r8*a13*a23+%r9*a12*a23)*a31)/(a21*a31*(a22-a33)-a21^2*a32+a23*a31^2),b23=(a21*a23*(-%r8*a33-%r9*a32+%r8*a11)+(%r8*a23^2+(%r9*a22-%r9*a11)*a23+%r9*a13*a21)*a31-%r8*a13*a21^2)/(a21*a31*(a22-a33)-a21^2*a32+a23*a31^2),b33=%r7]
という結果が得られました。％が付いているものは任意パラメータです。AB=BAの独立な方程式は最大6個ですが、その場合上記がAと可換な行列の全てです。独立な方程式が減る場合には可換な行列は増えます。

回答No.2

grothendieck

αI+βA+γA^2　でＡと可換な行列の全ては尽くされません（例えばA=I の場合を考えてみると良い）。
Aを定行列として
　AB = BA
はＢに対する線型方程式になります。2行2列の場合にＢが0でない条件を数式処理で求めると、Ｂは次の4つまたはその線形結合に限ることがわかりました。
B={1　-(a22-a11)/(a21+a12)},
{(a22-a11)/(a21+a12)　1},

B={1　(a22-a11)/(a21-a12)},
{(a22-a11)/(a21-a12)　1},

B={1　0},
{0　1},

B={0　1},
{a21/a12　(a22-a11)/a12},

3行3列でも原理的には同じだと思います

回答No.1

rabbit_cat

αI+βA+γA^2