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正七角形って書けますか？
仕事場で、たわいもない話から正七角形って書けるか書けないかで、論争になっています。書けるのならその証明方法も教えて下さい？
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既に同趣旨の質問があり， http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=40706 http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=210553 に回答が出ています． 本質的に Mell-Lily さんのご回答と同じです． n=2^2^p+1 (p は自然数)という形をした素数はフェルマー素数と呼ばれています． p=0 の３，p=1 の５，p=2 の１７，p=3 の２５７，p=4 の６５５３７ が知られています． p=5 は 641×6700417 と分解出来るのを Euler が発見しています． 他にフェルマー素数があるかどうかはわかっていないと思います． 通常の作図のルール(定規とコンパス)で作図できる演算は， 四則と平方根であることがわかっています． したがって，正ｎ角形(半径１の円に内接としましょう)が作図できるかどうかは， 一辺の長さが四則と平方根で表されるかどうかにかかっています． 別の表現では，複素数 z に関する方程式 z^n = 1 の解が四則と平方根で書けるか どうかと言うこともできます． ｎが大きくなれば３乗根，４乗根，...が必要になりそうですね． 大体そうなのですが，たまたま平方根(２重根号，３重根号，...でもＯＫ)＋四則 だけで表現できる場合があって，それが上で紹介したスレッドや Mell-Lily さんの 話です．
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- Mell-Lily
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18世紀から19世紀にかけて活躍した、ドイツの数学者ガウス（Johann Carl Friedrich Gauss, 1777.4.30～1855.2.23）は、定規とコンパスで作図できる正p角形（pは、素数）は、 p=2^2^n+1, n=0,1,2,… という形をした素数に限られることを証明しています。このことから、定規とコンパスで作図することができる正多角形は、xを x=2^n×3^a×5^b×17^c×257^d×65537^e…, n=0,1,2,3,…, a,b,c,d,e,…=0,1 という形をした自然数xとして、正x角形に限られることになります。定規の代わりに、目盛付き定規を用いれば、正7角形や正9角形が作図可能になります。
正5角形なら、1辺1の場合、対角線が、（√5-1）/2ということを知ってれば、まずその長さを作ってから、かけます。 正7角形の場合も、対角線の長さがわかれば書けると思います。 具体的には、正7角形ABCDEFで、１辺1とした場合の、ACの長さがわかれば書けます。たとえ、ややこしいルートがたくさんある式でも、定規とコンパスで書けます。sinとかcosとかが入るとだめですが。 で、ACの長さっていくらになるんでしょ。
正五角形の作図は昔は中学の技術で習いました。 今でも教えているかどうかは知りません。 正七角形は作図できません。 ところが正１７角形が作図できることは有名です。 実際に自分が書き方を知っているかどうかは別です。 「２＾（２＾ｍ）＋１の形の素数のときはできる」という ことが発見されています。 下のＵＲＬ
- gator
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まず、ルールですが、 定規とコンパスだけを使うということですね。だから、 分度器は使わない。それから、定規の目盛りも使いません。 で、確かに正7角形はかけません。でも、正5角形はかけたと 思います。近似でなく。 今、yahooで検索してみました。「正多角形、定規、コンパス」 で、やっぱり画けるみたいです。 参考URLをご覧下さい。 以上
↓#5ですが、ちょっと頓珍漢な答えをしてしまいました。気にしないで下さい。
３６０度を７では割り切れない（商 51.428571…）ので、正確には描けないと思います。だいたいでよければ描けますが。
- yasuhiro99
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理論上はかけないと思いますが、 実際には「書ける」といったレベルでしょうか（笑） 厳密にはかけていないでしょうけど・・・ URLに書き方が書いています。
- arukamun
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正七角形は書けません。 ただ、疑問に思ったのですが、正五角形は書けるという事になっているのでしょうか？ 書けると言っている人は分度器を使っている可能性があります。図形を図示する際の道具に分度器はルール違反の様な気がします。 基本的に使っていいものは直線が描ける定規（目盛りなし）とコンパスだけです。（ギリシャの三大作図問題）
- shy00
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出来ないらしいです http://www.mcc.pref.miyagi.jp/people/ikuro/koramu/impossible.htm ですが http://www.shirakami.or.jp/~eichan/java/javaii/hepta.html 近似図形はこんな感じでかけるらしいです
- goncyan18
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数字上は無理だと思います。円周率自体も終わりの無い数字なので。 でもＣＡＤを使えばできるんですよね。 例えば１つの円を７等分するように操作すれば簡単にできますので、その点を結べば正７角形になっている気がしますが・・。 結論はほぼ正に近い７角形は書けるが、正では無いという事なのでしょうか・・。 曖昧ですみません。
お礼
皆さん、ありがとうございました。いろいろな意見をプリントして、持っていってみます。