正三角形に関する問題が解けません。。。

質問

正三角形に関する問題が解けません。。。
最近の入試問題だと思うのですが、

正三角形ABCと、ABCをその重心を中心にしてθ回転させた三角形DEFを考える。
二つの三角形で重なってない部分の６つの小さな三角形は、全て合同であることを示せ。

というような問題なのですが、証明の糸口がつかめません。
どのようにすればよいのでしょうか？

回答No.2

noname#228300

対応する2角の大きさと挟まれる辺の長さがそれぞれ等しいことを証明します。

・正三角形△ABCの重心をOとします
・辺ACと辺DEの交点をpとします
・辺ABと辺DEの交点をqとします
・辺ACと辺DFの交点をrとします
（お絵かき添付を参照してください）

∠Apqと∠Dprは対頂角なので等しい・・・(1)
∠qApと∠pDrはともに正三角形の一角60°で等しい・・・(2)

∠OApと∠ODpはともに正三角形の一角の半分30°で等しい
∠AOpと∠DOpはともにθの半分で等しい
線分AOと線分DOはともに合同の三角形ABC、三角形DEFの一角と重心との距離であり等しい
よって、三角形AOpと三角形DOpは合同である
よって、線分Apと線分Dpの長さは等しい・・・(3)

(1)、(2)、(3)より
三角形Apqと三角形Dprは合同である

同様にDを頂点とした小さな三角形とCを頂点とした小さな三角形は合同であることが証明できる。
同様にCとF、FとB、BとE、EとAのそれぞれを頂点とした小さな三角形の合同が証明できる。

以上より、二つの三角形で重なってない部分の６つの小さな三角形は、全て合同である

補足

ありがとうございます。一つ疑問なのですが、

∠AOpと∠DOpはともにθの半分で等しい

この部分は自明なのでしょうか？実はここが証明出来ず悩んでいたのですが、証明なしで言ってしまってよいのでしょうか？

回答No.1

ORUKA1951

正三角形なので、内心と外心は一致するので、外接円とともに回転すると考える。
そのとき、一方の正三角形をθ度回転させた図形を重ねて、全体を(-1/2)θ元に戻す。
添付図のようになる。
交点は、常に正三角形の頂点から中心線上を移動するので、角度は決まる。
あとは分かるね。