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正２０面体について
名刺を３枚組み合わせると、名刺の各角が正２０面体になりますが、このことを空間座標を用いて証明したい時はどうすればいいですか？！
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机の上の名刺を一生懸命組み合わせて、どうやってもできないと悩んでいました。 突き刺すんだったんですね。 まず、球に内接するのは簡単に証明できると思います。 それは各頂点の原点からの距離が等しければいいですもんね。 次に、頂点間の距離が等しい事の証明ですが、これは地道に隣接する頂点間の距離を求めるのが一番簡単な気がします。
その他の回答 (6)
>この４つは名刺１枚の頂点ですよね？この４つの座標でなにを挙げてるのですか？ 12のうち4つを挙げただけです。No.4さんが全ての 頂点を書いてくれたので、No.5は無意味です。 それを参考にして、 隣り合う頂点の距離を出してみて、それが 全て等しくなるときのa,bの比を出せば きっと黄金比なのでしょう。
お礼
ありがとうございます！！とても助かりました＆理解しました!(^^)! 今からがんばってやってみます(^_^)/~
とりあえず4つを挙げると、 (a,b,0), (-a,b,0), (-a,-b,0),(a,-b,0) 同様にして、残りの8つをやってください。 あとは、すべての面が正三角形で、 すべての頂点が同一球に内接することを 言えばいいのですかね。
お礼
あ！なるほど！読み間違えてました！！ すべての面が正三角形で、すべての頂点が同一球に内接することを言えばいいのですね！！(~o~) 補足のコメントなしにしてください(^^;) ちなみに同一球に内接することを証明するにはどうしたらいいですか？
補足
もうちょっとでわかりそうです！ ＞とりあえず4つを挙げると、 (a,b,0), (-a,b,0), (-a,-b,0),(a,-b,0) この４つは名刺１枚の頂点ですよね？この４つの座標でなにを挙げてるのですか？
- パんだ パンだ（@Josquin）
- ベストアンサー率30% (771/2492)
＃３です。 (a, b, 0) (-a, b, 0) (a, -b, 0) (-a, -b, 0) (b, 0, a) (b, 0, -a) (-b, 0, a) (-b, 0, -a) (0, a, b) (0, -a, b) (0, a, -b) (0, -a, -b) かな？
お礼
No.5さんの回答もあって無事解決しました！ Josquinさんにも丁寧にたくさん回答していただき本当にありがとうございました！m(_ _)m 頑張ってレポートします！
補足
なるほど！！ ・・・ ＜それで、頂点と頂点の長さが等しくなるａとｂの比を求めればいいんじゃないでしょうか。 ・・・ ん？ここからａとｂの比を求めてどうやって証明するのですか？ ホントになんもわかってなくてごめんなさい！(>_<)
- パんだ パンだ（@Josquin）
- ベストアンサー率30% (771/2492)
名刺３枚それぞれの中心が一致し、かつ、名刺３枚それぞれが直交するように組み合わせると・・・２０面体にはなりますが、正２０面体とは限らないのでは？ （極端に細長い名刺を想像してみてください。） 正２０面体になるのが、多分、辺の長さが黄金比の時なのでしょう。 とりあえず、名刺の辺の長さを２ａ、２ｂとして、１２個の頂点の座標を求めましょう（難しくありませんよね？）。それで、頂点と頂点の長さが等しくなるａとｂの比を求めればいいんじゃないでしょうか。
補足
そうです、黄金比の時のみです(>_<)すみませんm(_ _)m ＞とりあえず、名刺の辺の長さを２ａ、２ｂとして、１２個の頂点の座標を求めましょう（難しくありませんよね？）。 とほほ…(^^;)難しいです(*_*) もう少し教えてください(;_;)
- kentarou2333
- ベストアンサー率42% (65/152)
そもそも、名刺を３枚組み合わせると、各角が正２０面体になるんですか？ 単純に三角形ができるという意味でしょうか？
お礼
kentarou2333さん、何度も補足などしちゃってすみませんでした！ 単純作業で、正三角形であることも簡単に示せました☆丁寧に回答していただいてありがとうございました！(~o~) では(^_^)v
補足
なるんですよw(゜o゜)w こんなかんじです↓↓↓↓↓↓↓ http://www.hcn.zaq.ne.jp/no-ji/reseach/20030331.html
問題文の意味が分からないのですが。 見る人がみれば分かるのですか?
補足
数学科教育法（教職科目）のレポート課題なのですが、おそらく黄金比を使って証明するみたいなんですけど…(>_<;) 正２０面体の頂点になるのは確かです(^^;)
お礼
丁寧な回答ありがとうございます！(*^O^*) そうなんですよ、名刺を突きさすんですよ。言葉足らずで申し訳ないです！(>_<) 回答をいただくと「なんだこんなことか～(~o~)」と思い、簡単な質問をしてしまったことに気づきました(^^;) どうも本当にありがとうございました☆ またわからない問題があればそのときはお世話になりますんで宜しくです!(^^)!
補足
すみません、ふと思ったのですが、球に内接していることを証明するだけでは、正２０面体であることは証明できませんか？ やっぱり、頂点間の距離が等しい（すべての面が正三角形である）ことも証明しないといけないですか？けっこう大変…^^;