積分

質問

以下の積分の問題が解けないので質問させていただきます。

∫[0→∞]2x^2/(1+x^2)^2 dx

よろしくお願いします。

回答No.1

jamf0421 · ベストアンサー

1+x^2とでてきたら取り敢えずx=tanθと置いてみるのが常法です。
1+x^2=1+tan^2θ=1/cos^2θ...(1)
ですから
1/(1+x^2)=cos^2θ...(1)'
また、
dx=dθ/cos^2θ...(2)
ですから、求める積分をIとすると
I=∫(0→π/2){2*tan^2θ*cos^4θ}(dθ/cos^2θ)
=∫(0→π/2)(2*sin^2θ)dθ...(3)
となります。(3)までいけばお分かりとおもいますが、
sin^2θ=(1-cos2θ)/2...(4)
ですから、結局
I=∫(0→π/2)(1-cos2θ）dθ
になります。

お礼

>1+x^2とでてきたら取り敢えずx=tanθと置いてみるのが常法です。
そうだったんですか。
スッキリしました。どうもありがとうございました。

回答No.3

jamf0421

蛇足ですがNo2さんの回答にx=tanθを代入すれば
I=-tanθ/(1+tan^2θ）+θ
=-(sinθ/cosθ)*cos^2θ+θ
=-(1/2)sin2θ+θ
となりNo.1の答えに一致します。あたりまえですが...

お礼

有難うございます。

回答No.2

-somebody-

∫2x^2/(1+x^2)^2 dx
は不定積分が可能なので不定積分をやってしまいます。

x{2x/(1+x^2)^2}とみて
{}内を{-1/(1+x^2)}'
とすると
部分積分が可能ですね。
∫x{2x/(1+x^2)^2}dx
=∫x{-1/(1+x^2)}'dx
=-x/(1+x^2)+∫1/(1+x^2)dx
=-x/(1+x^2)+Arctanx+C(Cは積分定数)

ということで
今回は区間が[0→∞]なので
値はπ/2ではないでしょうか。

お礼

その答であっていました。

このやり方でも出来るんですね。
どうも有り難うございました。