GPSで位置を知るために必要な衛星の数

質問

GPSの衛星からは時刻情報が送られて来るそうです。
地上のGPS受信機では受け取った時刻と自分の時計とを比べることによって、衛星からの距離を知るそうです。
ですので基本的には３つのGPS衛星からの信号を受信出来れば、自分の位置が求まると思います。（3次元空間上の３つの点の座標、及びそれらの点からの距離が与えられれば受信機の位置が一意に特定出来る。）
（実際には解は二つ得られるが片方の解は地上から見てGPS衛星の向こう側にあるので無視。）

しかしこれは受信機に搭載している時計が十分に正確な場合です。
実際には、GPSに搭載している時計の方は原子時計で十分に正確だそうですが、受信機側は通常普通のクォーツでそんなに精度が無いのだそうです。ですので十分な精度で知ることが出来るのはそれぞれのGPS衛星からの距離の「差」だけだということになります。

Lab = 衛星Aからの距離-衛星Bからの距離
Lbc = 衛星Bからの距離-衛星Cからの距離
Lca = 衛星Cからの距離-衛星Aからの距離

上記の３つの値だけが与えられた場合、受信機の位置は一意には求まらず、ある曲線状のどこか、ということが分かるだけだと思います。
こういう状況で、受信機の位置を知るには、もうひとつ衛星が必要です。
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以上がWikipedia等の文章から私が理解した内容です。
しかし、以下の、別の考えが頭に浮かんでしまい、分からなくなってしまいました。

[考え方2]
衛星Aからの距離-衛星Bからの距離がLabであるような点の集合はある曲面を形成する。(これを曲面abと呼ぶ）
同様に
衛星Bからの距離-衛星Cからの距離がLbcであるような点の集合もある曲面を形成する。（これを曲面bcと呼ぶ）
これらの２つの曲面が交差するところ、すなわち上記の2つの条件をどちらも満たすような点の集合はある曲線を形成する。（これを曲線abbcと呼ぶ）
衛星Cからの距離-衛星Aからの距離がLcaであるような点の集合もある曲面を形成する。（これを曲面caと呼ぶ）

３つの条件をすべて満たす点は、曲線abbcと曲面caの交差したところである。曲面に曲線がぶすっと刺さったところなので点の位置はたぶん1個とか2個とかその程度には限定できるであろう。

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上記の[考え方2]は衛星が４つ必要という考えと矛盾すると思います。
たぶん[考え方2]が間違っているのだと思うのですが、どこが間違っているのか分かりません。
どなたか教えて頂けませんでしょうか。

回答No.8

eatern27 · ベストアンサー

#5です。訂正。
>Lab=Lbc-Lca
Lab+Lbc+Lca=0でした。

お礼

どうもありがとうございました。

Lab = 衛星Aからの距離-衛星Bからの距離
Lbc = 衛星Bからの距離-衛星Cからの距離
Lca = 衛星Cからの距離-衛星Aからの距離

の「３つの制約条件」というのがそもそも間違いだったのですね。
3つ目は1つ目と2つ目から導き出されるものであり、制約条件としては２つだけ。従ってこれを満たす点は一意には求まらない。
（図形的には、１つ目と2つ目の条件から求まる曲線は、３つめの条件で規定される曲面上にそもそも乗っていて「線が面を突き刺す点」など無い。）

納得しました。

回答No.7

nitho_t

Wikiだけ読みました。
細かな言い回し等で差異はあると思いますがそれほど誤解はないように思います。

「ですので十分な精度で知ることが出来るのはそれぞれのGPS衛星からの距離の「差」だけだということになります。」

受信機が知ることができるのはあくまでも各衛星からの距離です。計算結果を十分な精度で出すために差を利用します。

またWikiにも
「3衛星について双曲面の交わりから、受信機の位置を知ることができる（双曲線航法）。」と書いてあるように[考え方2]で原理的に問題ありません。問題は果たしてそれで十分な精度が出ているか？ということになります。
同様にWikiに民生用CDMAの精度は10mとなっているので誤差はなくても位置は10m四方のどこかになります。そこで必要な精度だけ衛星を使用しているわけです。
それ以外の補正はカーナビでは加速度センサーによる距離計、マップによる補正などがあります。

回答No.6

chiezo2005

3つの衛星からの信号をGPS受信機がたまたま同時刻に受信できたばあいには
受信機の時計は必要なくてお考えのようになります。

実際には同時刻に受信はできませんので、その受信時間については
GPS受信機の時計誤差（わずかですが）が重畳してしまいます。
たとえばAからの信号、Bからの信号、Cからの信号が一秒間隔で受信したとすると受信機の一秒の誤差が問題になってしまいます。
通常のクォーツ時計は月差15秒くらいのものが多いので、
これは一秒あたり0.000006秒くらいに相当しますが、光の速度をかけると
1736mとなります。これはちょっと大きいですよね。
（実際にはクォーツ時計の進み方は数秒単位では一定ですので、3つの衛星でもかなりの精度で位置を算出することは可能です。）

回答No.5

eatern27

Lab=Lbc-Lca
なので、曲面caは曲線abbcを含みます。

ちなみに、電波時計でも同期と同期の間はクォーツの精度になるので、GPSに必要な精度が出ません。

回答No.4

noname#121811

＃３です。すみません、考え方２を間違えて取ってましたね。

考え方２でお話しの通り１個か２個に限定されます。しかし４衛星での測位と異なり、時刻は補正されません。δ1とδ2の引き算で打ち消しあいますが、値は分りません。従って衛星は３個でいいのです。しかし、時刻の誤差は（小さいながら）存在します。誤差は多くの衛星を使う事で減らすのです。

補足

＃５（＝＃８）の回答で納得しました。
考え方２は間違っていたと思います。

回答No.3

noname#121811

＞衛星Aからの距離-衛星Bからの距離がLabであるような点の集合はある曲面を形成する。(これを曲面abと呼ぶ）

曲面ではなく、円を形成します。

衛星A,B,Cからの距離をそれぞれLa,Lb,Lcとすると
衛星Aからの距離がLaである点の集合は半径Laの球面です。
同様に衛星Bからの距離がLbである点の集合は半径Lbの球面です。
２個の球面の交点の集合は、、、空間図形を思い浮かべると、、、円になりますね。さらにもう一個の衛星Cを中心とする半径Lcの球が交わると、２点に絞られます。

回答No.2

mojitto

質問者さまのご指摘はごもっともですが

>しかしこれは受信機に搭載している時計が十分に正確な場合です。
受信機に搭載している時間が（誤差もを問題にしないほど）正確ならどうしましょう？
（それ以前にちゃんと補正してあれば問題はないのでは？）

もしそうなら
>しかしこれは受信機に搭載している時計が十分に正確な場合です。
は覆ります。

ただ、運営上としては、（聞き性能を上回る）数秒狂っていたとしても、その誤差は補正に耐えるる数値だと思います。

基本的には運営上の理由によって４つの衛星を要していると思いますし、正確性の確保はあり得ると思いますがね。

補足

コメントありがとうございます。

＞受信機に搭載している時間が（誤差もを問題にしないほど）正確ならどうしましょう？

もし十分に正確な時計を持っていれば衛星３つで自分の位置が分かると思います。問題は十分に正確な時計を持つのが難しい（あるいはコストがかかる）ということだと思います。
＃１の方への補足内容も参考にして頂けたらと思います。

回答No.1

nemoax006

＞受信機側は通常普通のクォーツでそんなに精度が無いのだそうです。
異論があります。電波時計より時刻の修正を受けている場合、誤差はありますか？電波時計には、「セシウム原子時計」が使われています。

補足

コメントありがとうございます。

＃５さんの回答に「ちなみに、電波時計でも同期と同期の間はクォーツの精度になるので、GPSに必要な精度が出ません。」というのがあります。
これはこれで正しいのかもしれませんがこれとは別に私は以下の点でも（GPS受信機に電波時計を搭載していても）役に立たないと思います。
電波時計では確かに「セシウム原子時計」というとても正確な時計が使われているようですが、このセシウム原子時計は電波時計の中に入っているのではなく、どこか遠いところ（電波を発信する放送局の中？そば？）にあるのだと思います。ですので、少なくとも電波が受信機に届くまでの時間分の遅れが出ます。例えば300km離れていると1msくらい遅れるでしょう。
もともとGPSは「電波が伝わるのには時間がかかる、時刻情報を遠いところから受信すると少し遅れた時刻が受信される、その送れ具合によって送信機からの距離が分かる、複数の点からの距離が分かれば自分の居場所が分かる」という仕組みだと思います。
なので単純に考えると例えば100mの精度で場所を特定しようとすると電波が100m進む時間（＝300nsくらい）位の時計精度が必要になると思います。先程の1msではとても足りません。
もし自分の居場所が分かれば、（電波時計の放送局から自分の位置までの距離をもとに）電波時計の時刻を補正することが出来ますが、そもそも自分の居場所を知るためにGPSを使おうとしているわけで、これでは話がいたちごっこになってしまいます。