この数学ゲームの必勝法をおしえてください

質問

おせわになります
次のような数学パズル・ゲームについて教えてください。

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碁石が10個あります。
2名のプレイヤーが互いに任意の数だけ碁石を取り除きます。
ただし任意の数は1個から3個の間のみです。0個（パス）は認められません。
最後の1個を”取らされた”方が負けです。逆に言えば、相手の順番になったとき、碁石が残り一個になるようにすれば勝ちになります。

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１）このゲームの必勝法を教えて下さい。
２）プレイヤーの数が増えたとき、碁石の数が増えたとき、一度に取れる碁石の数が増えたとき、必勝法はどのように変化するでしょうか？
３）またプレイヤー、碁石、一度に取れる碁石の数をそれぞれ未知数で表した場合、いかなる場合でも必勝法を表す一意の方程式などは作れるでしょうか？
４）このゲームはおそらくすでに数学者の間では特定の名称で呼ばれていると思いますが、その名称を教えてください。

よろしくお願いします。

回答No.8

gohtraw

まだきちんとは考えられていないのですが・・・。
　元のルールで人数だけ３人になった場合、４ｍ＋１あるいは４ｍ＋２で次に渡すことが出来ればいいように思いますが、それができたとしてもあとの２人は合計で２～６個取ることが出来るので４ｍ＋１にして返してくることが可能です（残り数に依存する部分はありますが）。従って初期の石の数が充分大きければ（取れる最大数＋取れる最小数＊人数以上かな？）３人の場合に不敗法（自分以外の全員がグルでも負けない）というのは成り立たないように思います。恐らくこれ以外の人数でも同じだと思うのですが・・・。

お礼

ご回答ありがとうございます

回答No.7

Ishiwara

２人の場合ですが、
相手に残り５個の状態を渡せば必勝です。
したがって、５＋（４の整数倍）を相手に渡せば必勝です。
当然のことですが、自分の番でこの状態なら、必勝法はありません。

この種の問題を専門的に勉強したい方には、一松信『石取りゲームの数理』という名著があります。

お礼

ご回答ありがとうございます

図書館に行って借りてきます。

回答No.6

stomachman

オモロイ問題ですねえ。いろいろな議論・観点が出てきそうなんで、質問をすぐには閉じないで戴きたいなあ。
　プレイヤーが2人の場合は簡単です。しかしプレイイヤーが3人以上いる場合には、ゲームのルールをもう少しはっきりさせなくちゃなりません。そして「必勝法」という概念が何を意味するか、についても一段深く考えなくちゃならんでしょう。

　まず、どのプレイヤーも決してわざと負けようとはしない、という仮定を置きます。（現実のゲームでは、これは必ずしも成り立たないのですが。）
　さて、プレイヤーが2人なら、以下の三通りのルールのうちどれを採用しても、プレイヤーの行動は同等です。
(1): ゲームの目的は最後の碁石を取らないこと。（最後の碁石を取ったプレイヤーは殺されてしまう。他のプレイヤーはどれも殺されない。）
(2): ゲームの目的は1個だけ碁石を残すこと。（1個だけ碁石を残したプレイヤーは殺されない。他のプレイヤーは全部殺されてしまう。）
(3): ゲームの目的は、第一に、最後の碁石を取らないこと。第二に、できれば1個だけ碁石を残すこと。（最後の碁石を取ったプレイヤーは殺されてしまう。1個だけ碁石を残したプレイヤーは莫大な賞金が貰える。それ以外のプレイヤーはどれも殺されないが賞金もない。）

　しかしプレイヤーが3人以上いる場合は(1)(2)(3)は同じではありません。それによって、プレイヤーの行動が違ってきます。

　(1)と(3)の場合には明らかに、複数のプレイヤーが共謀して特定のプレイヤー（「カモ」と呼びましょう）を負けさせるようにする戦略が意味を持ちます。
　では「共謀はしないこと」というルールを付け加えることは可能でしょうか。そのルールが意味を持つためには、「確実に違反を証明する方法」の存在が必要です。プレイヤーAが負けたとき、残りのプレイヤーがそれぞれ独立に「Aを負けにしよう」と狙ったのか、それとも共謀してAを陥れたのかを区別できなくちゃいけない。これは無理っぽいですねえ。
　すると「必勝法」とは、「自分A以外の全てのプレイヤー{B, C, D...}が共謀して自分Aを「カモ」にしている時でも自分Aはゲームの目的を達成できる」という意味になるでしょう。

　(2)の場合は、ひとたび勝ち目がなくなってしまったプレイヤーxは「もう何をしたって一緒」なんだけれども、そのプレイヤーxも「他のどのプレイヤーを勝たせるか」についてはまだ影響力を持ちます。
　すると「必勝法」とは、「自分A以外の全てのプレイヤーx ∈{B, C, D...}について、xに勝ち目がなくなった際にｘはAを勝たせまいとする、という状況でも、自分Aはゲームの目的(1個だけ碁石を残す）を達成できる」という意味になるでしょう。また、「自分A以外の全てのプレイヤーx ∈{B, C, D...}について、xに勝ち目がなくなった際にｘはAにゲームの目的を達成せようとする、という状況でも、自分Aはゲームの目的を達成することが不可能である」という状況にも意味がありそうです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
確かにゲーム参加人数が3人以上になった場合は勝者、敗者の規定が必要ですね。
暫定的に次のようにしましょう。
最後の石を取らされた人は唯一ですから敗者に決定。
敗者決定の決まり手を出した人（敗者に引導を渡した人）も唯一ですから優勝者に決定。
優勝できなかったが、敗者にはならなかった人たちは勝者（優勝者とは区別する）
となると、必勝法は必勝法ではなくなるので不敗法、または敗戦回避法とでもなりますでしょうか？

このゲーム、参加者が3人以上でさらに
参加者が不敗法を知った上でゲームに参加しているか？
何名かがグルになって、誰か特定の参加者を敗者にするつもりで参加しているか？
あるいは自分さえ敗戦を回避すれば勝敗の行方はどうでもいいのか？
によってゲームの流れが変わってくるので真剣に遊んだら面白そうですね。

回答No.5

TanakaHiro

面白そうなので考えてみました。おそらく合ってると思うのですが・・・

１）
　次の方法で先手が必ず勝つ。
　１．１個取る
　２．以後、４－（後手が直前に取った数）を取る

２）
　石の数がn個、取れる上限数がm個とする。

　１．mod(n-1,m+1)>0の場合　（mod(a,b)は、a÷bの余りです。）
　　　先手が必ず勝つ。
　　　(1) mod(n-1,m+1)個を取る。
　　　(2) 以後、(m+1)-(後手が直前に取った数)だけ取る。

　２．mod(n-1,m+1)=0の場合
　　　後手が必ず勝つ。
　　　(m+1)-(先手が直前に取った数）だけ取るを繰り返す。

その他はちょっと分かりません。。。

お礼

ご回答ありがとうございます。
プレイヤーが3人、4人、5人と増えていくと必勝法はどのように変化していくでしょうか？

回答No.4

gohtraw

（１）残りの石の数を４ｍ＋ｎ（ｍは０以上の整数、ｎは０以上３以下の整数）で表わすと、自分が取ったあとにｎ＝１になっていればいいことになります。従って初めに１個取り、あとは相手がｐ個取ったら（４－ｐ）個とれば先手必勝です。
（２）碁石の初期値が変わる場合、ｎが０、２、３であれば先手必勝になると思います。取れる数が変わる場合は上記の「４ｍ＋ｎ」の４を（取れる最大の数＋取れる最小の数）にすればいいのかな？
（３）済みません、ちゃんと考えられていません。
（４）ニムのゲームというのが有名だと思いますがルールは違いますね

お礼

ご回答ありがとうございます。
プレイヤーが3人、4人、5人と増えていくと必勝法はどのように変化していくでしょうか？

回答No.3

ft82

失礼、ちょっと違うな・・・Σ

碁石=x
一度に取れる碁石の最大数=y
一度に取れる碁石の際定数=zとすると

(x-1)/(y+z)の余りが
z＜{余り}＜y
のとき先手有利・・・かな？

お礼

ご回答ありがとうございます。
プレイヤーが3人、4人、5人と増えていくと必勝法はどのように変化していくでしょうか？

回答No.2

ft82

一度に取れる碁石の最大数と最低個数の数を足した数で碁石の総数を割った際のあまりが
一度に取れる碁石の個数より大きいか小さいかで分かります。

大きい場合は後手有利
小さい場合は先手有利です。

お礼

ご回答ありがとうございます。
プレイヤーが3人、4人、5人と増えていくと必勝法はどのように変化していくでしょうか？

回答No.1

vigo24

１）のみですが、
先手ならば勝てると思います。

６個目以降の石を相手に残せば勝ちです。
（６個以降の５個の石を相手に残せば相手の次の石の取り方に
関わらず自分が９個目の石を取れます。）
したがって最初に自分が１個の石のみを取って次の番に
５個目までの石を取れば勝ち。

お礼

ご回答ありがとうございます。
プレイヤーが3人、4人、5人と増えていくと必勝法はどのように変化していくでしょうか？