算数ゲームの必勝法

質問

皆さん次のようなゲームはご存知ですか。「2人でゲームをします。3以下の数を言っていって、30と言った人がまけです。」というものです。この必勝法が、「25と言った人が勝ち」というのは分かっているのですが、似たような問題が解けないので質問させて下さい。
「同じように2人でゲームをします。21個の石があるとし、21から3以下の数を言って石の数を減らしていきます。最後の石を取った人が負けです。このゲームに勝つ必勝法はなんでしょうか？また、このゲームを一般化しましょう。（例えば、このような数の時はn以下の数を言うetc）。
出来れば答えだけでなく、算数的な仕組みも教えて下さい。よろしくお願いします☆

回答No.4

edomin · ベストアンサー

＃１です。
まとめましょう。

石の総数Ｍ個、一度にとれる最大数Ｎ個のとき
Ｍ＝１＋（Ｎ＋１）＋α
に分けて
α＝０のとき
・後手を選択
・（Ｎ＋１）－（先手が取った個数）を取る。
α≠０のとき
・先手を選択してα個とる
・（Ｎ＋１）－（後手が取った個数）を取る。

が、必勝法です。

お礼

補足に書いてしまいました。すみません。どうもありがとうございます☆

補足

いろいろな回答をどうもありがとうございました☆

回答No.3

edomin

＃１です。

ちょっと違う解釈を・・・
「同じように2人でゲームをします。21個の石があるとし、21から3以下の数を言って石の数を減らしていきます。最後の石を取った人が負けです。このゲームに勝つ必勝法はなんでしょうか？」
先手後手を選択するときに「後手」を選択するのが必勝法です。

補足

とても分かりやすかったです☆

回答No.2

edomin

＃１です。

解釈は合っています。
下に書いたとおり、
「ただし、最初に石を分けたときに「余り」の部分がないと、先手の方がどれかのグループから取らなければならないので、後手必勝になります。」
なので、総数２１個、とれる最大数３個の場合は、後手必勝です。
（ただし、相手もこの法則を知っていた場合・・・）

補足

どうもありがとうございます☆

回答No.1

edomin

最初の石の個数をM、一度に取れる石の最大の数Nとしたときの必勝法は、
まずM個の石を、最後の１個と、(N+1)個ずつのグループと、N個 以下の余りに分けます。
先手は、N個以下の余りの部分を全部取ってしまいます。すると後手は、どれかの(N+1)個のグループ中から何個か取ることになります。
最大N個までしか取れないのだから、(N+1)個のうち何個かは必ず残ります。
また先手の番なので、(N+1)個のうち残った分をすべて取ります。
このようにすると、常に先手の番で一つのグループがなくなります。
結局、最後の１個を残して石がすべてなくなるので、後手が最後の１個を取らなければならなくなります。

つまり、最初に「余り」の部分を取ってしまえば、先手必勝でです。
ただし、最初に石を分けたときに「余り」の部分がないと、先手の方がどれかのグループから取らなければならないので、後手必勝になります。

補足

つまりこういうことでしょうか。
「この場合、21を20と1に分ける。20をn＋1ということで4つの塊に分ける。例えば相手が1,2と言ったら自分は3,4と答てあまりを作らないようにする。（4の束にそろえる）」
こう考えるとn＋1にそろえる後手の方が勝つのではと思うのですが、私の解釈間違ってますか？