lukoさんのご質問は物理学でよく使われるベクトル解析のお話ですね。ベクトル解析は大学の教養課程か、専門課程の最初くらいで出てきます。
「ベクトル解析」なんて勿体付けましたが式そのものは難しいものではなく、関係を式に表現するだけなら何とかなります。ただし中身までちゃんと理解しようとすると以下の基礎知識が必要です。
-スカラーとは何か、ベクトルとは何か
-3次元空間におけるベクトルの取扱い
-偏微分
もしそこまで戻って説明するとなると少なくとも大学の講義1回分以上の分量になる上に、身につけるためには少し鉛筆と紙で問題を解いてみる必要もあります。
とりあえず式だけは書いておきます。よく分からないということであれば、高校2年くらいの代数幾何のあたりからさらっと復習してみるよう、お子さまにお伝え下さい。
(0)スカラーとベクトル
とりあえず「スカラーとは大きさだけを持つ量、ベクトルは大きさと向きを持つ量」と理解しておいてください。
(1)スカラー関数とベクトル関数
いま3次元空間のある場所(x,y,z)が与えられた時、その場所に応じて一つの値が決まる関数φ(x,y,z)があったとします。身近な例で言えば「部屋の中の、場所場所での温度を表す関数」などはこれに当たります。
このように「場所が決まると値が決まる関数」をスカラー関数といいます。
一方、場所が決まると(値でなく)ベクトルが決まる関数というものもあります。「ベクトルの各成分が決まる関数」と言っても同じことです。例えばある時刻において、部屋の中の各点における風向と風速を与える関数はそれです。「場所が決まるとベクトルが決まる関数」をベクトル関数といいます。
(2)スカラー関数、ベクトル関数に関する演算
【勾配】
スカラー関数に対し定義されます。いまスカラー関数φ(x,y,z)があったとき、
(∂φ/∂x, ∂φ/∂y, ∂φ/∂z)
の3つの値(関数)からなる組のことを、そのスカラー関数の「勾配」と言います。もとのφはスカラー(スカラー関数)でしたが勾配は3つ組の値からなる関数、すなわちベクトル関数です。grad φや、あるいは∇φなどと表現されます(gradはグラジエント、∇はナブラと読みます)。
∂φ/∂xはご存じかと思いますが偏微分の記号です。関数φの中の変数xについてのみ微分を行い、それ以外の文字(y,z)は定数とみなして行う微分です。例えば
φ=x^2 y + y^2 z^3
ならば(^は、べき乗を表す)、
∂φ/∂x = 2xy
∂φ/∂y = x^2 +2y z^3
∂φ/∂z = 3 y^2 z^2
ですから、
grad φ=(2xy, x^2 +2y z^3, 3 y^2 z^2)
となります。繰り返しになりますが勾配grad φはベクトル関数です。また表式をみて分かるように、この例では場所(x,y,z)に応じて値が変化します。
【発散】
ベクトル関数に対して定義されます。いまベクトル関数A(x,y,z)があったとき、
∂Ax/∂x + ∂Ay/∂y + ∂Az/∂z
のことをベクトル関数Aの発散といい、div Aなどと表します(divはダイバージェンスと読みます)。Ax, Ay, Azはそれぞれベクトル関数Aのx成分、y成分、z成分を表します。
例で説明してみます。いまベクトル関数
A=(2x^2, y z^2, x^2 z^2) ←x,y,zの各成分の組からなるベクトル関数です
があったなら、
∂Ax/∂x = 4x
∂Ay/∂y = z^2
∂Az/∂z = 2 x^2 z
ですから、これを全部足して
div A = 4x+ z^2 + 2 x^2 z
がベクトル関数Aの発散ということになります。発散はただ一つの値を与える関数、すなわちスカラー関数です。
【回転】
ベクトル関数に対して定義されます。これの表式は少し複雑でして、ベクトル関数A(x,y,z)のx成分、y成分、z成分をそれぞれAx, Ay, Azとすると、それらに対し
(∂Az/∂y -∂Ay/∂z, ∂Ax/∂z -∂Az/∂x, ∂Ay/∂x -∂Ax/∂y) ←3つ組の値から成っていることに注意
の3つの成分からなるベクトル関数のことを「ベクトル関数Aの回転」といい、rot Aなどと表します。rotはローテーションと読みます。
例えばベクトル関数A=(2x^2, y z^2, x^2 z^2)に対し、rot Aは
(-2yz, -2x z^2, 0)
となります。
勾配、発散、回転がそれぞれ物理的にどのような意味を持っているのかはこの先学ぶことと思います。
とりあえず表式だけを記しました。
●ご参考までに
「ベクトルとその微分」
http://www.ese.yamanashi.ac.jp/~itoyo/lecture/denkigaku/denki01/denki01.htm
このページでは空間のx方向の単位ベクトルをj(太字j)、同じくy方向に太字k、z方向に太字lとする表記法をとっています。
3次元空間のベクトルを (a, b, c)を、a j + b k + c lと表現しているわけですので、適宜読みかえてください。
お礼
丁寧に教えてくださいまして、大変恐縮しています。本当にありがとうございました。