接平面

質問

学校で出された課題なんですが、
z=arctan(y/x)において
(1)自然な定義域を求めなさい。
(2)全微分可能な領域を求めなさい。
(3)(x,y)=(√3,1)における接平面を求めなさい。
という問題なんですが、
(1)は-π/2<z<π/2かつx≠0
(2)は全領域で可能
という答えになったのですが、これで合ってるんでしょうか？
また、(3)は接平面の公式を使って
z-arctan(1/√3)=(-1/4)*(x-√3)+(√3/4)*(y-1)
までは出たのですが、ここから先がわかりません。
どなたか教えてください。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

#2です。
A#2の補足の質問の回答
>(1)は定義域は{(x,y)∈R^2| x≠0}という答えでしょうか？
{(x,y)|(x,y)∈R^2,ただし x≠0}

>(2)
>全微分可能の定義はzx(x,y),zy(x,y)が連続な点
(x,y)でz(x,y)が連続で、かつ、zx(x,y),zy(x,y)が存在しないといけないですね。
(1)からx=0でz(x,y)が未定義ですので
x=0ではzx(x,y),zy(x,y)が存在しません。
x≠0を除く定義域で
>全微分可能となったのですが、
が言え、
> zx(x,y)=-y/(x^2+y^2),zy(x,y)=x/(x^2+y^2)となりました。
これらは見かけ上　x=y=0で未定義ですが,
z(x,y)が定義されない所のx=0ではzx(x,y),zy(x,y)は存在しない。
となりますね。

>(3)のarctan(1/√3)の値はπ/3でしょうか？
tanθ=1/√3を満たす角度θは　π/3[rad]=60°ではありません。
30°ですからラジアン単位にするとどうなりますか？

補足

ありがとうございます。
tanθ=1/√3を満たすθはπ/6でした。
凡ミスでした。すいません。

回答No.2

info22

(1)
#1さんのおっしゃる通り定義域と言う言葉の定義がわかって見えないようですね。

定義域とは何ですか？
分からなければ調べてみてください。
調べた結果を補足に書いて下さい。

右辺の中の実数x,yはどのような範囲で動けますか？

左辺のzの値のとりうる範囲は値域といいます。
これも調べて確認して下さい。

(2)全微分可能の定義を調べて補足に書いてみてください。あるいは定義が載っているURLを書いて下さい。

>全領域で可能
>という答えになった

関数が連続でない所や関数が定義されない所でも全微分可能ですか？

(3)
平面の式自体はあっています。

>arctan(1/√3)
この角の値は何か分かりませんか？

そうすれば　arctanがなくなりますね。

後は平面の式：ax+by+cz+d=0　または z=ax+bx+c　の形に
できるだけ簡潔な係数の式になるよう整理すればいいでしょう。

補足

ありがとうございました。
定義域とは独立変数がとりうる値の全体（変域）とありました。この場合はx,yのことですね。
(1)は定義域は|(x,y)∈R^2| x≠0}という答えでしょうか？
(2)は全微分可能の定義はzx(x,y),zy(x,y)が連続な点で、全微分可能となったのですが、zx=-y/(x^2+y^2),zy=x/(x^2+y^2)となりました。
(3)のarctan(1/√3)の値はπ/3でしょうか？

回答No.1

Tacosan

定義域を答えるのに, なんで z の不等式になるんだろう....
ちなみに arctan 1/√3 は arctan をはずす方がいいと思う.

お礼

ありがとうございました。