連立一次方程式の解き方がわかりません

質問

行列の対角化で固有値を求めた後、固有ベクトルを求めるために連立方程式を解きますが、

例えば
x + y = 0
3x + 3y = 0

これはどうやって解けばいいのですか？代入すると０になりますし、
習った覚えがありません。k(1 -1)になるのはなんとなくわかりますが・・・

宜しくお願い致します。

回答No.4

arrysthmia · ベストアンサー

方向が決まるとは、限りません。
あくまで、自由度が残るということです。
不定解の自由度が 1 ならば、決まりますけど。例えば、単位行列の固有ベクトルは
どうなりますか？

回答No.3

naniwacchi

固有ベクトル：xは、Ａx=λxという式を満たします。
図形的に考えると、固有ベクトルを行列Ａで表される1次変換で変換しても、
自分自身を何倍かに拡大or縮小or恒等変換しただけになるということです。
この固有ベクトルを直線の方向ベクトルに置き換えると、
「不動直線」や「不動点の集まり（λ=1）」となります。

直線の方向ベクトルは、唯一ではなく無数あります。
つまりは、大きさを変えれば無数あるということで、大事なのはあくまでも「方向」です。

(1,-1)のように分かりやすい数字で答えても構いませんし、
ノルム（ベクトルの大きさ）が1となるように 1/√(2)*(1,-1)としても構いません。

ノルムを1とする処理を「規格化」と呼びます。
長さ1のベクトルがどちらを向く？といったイメージになります。

お礼

ありがとうございます

んーつまり固有ベクトルを求めるための連立方程式というのは
無数にあるベクトルの方向（x,y成分の割合）を表しているということ
なのでしょうか？

回答No.2

arrysthmia

行列 A の固有値 λ に対する固有ベクトルが
x であるとは、Ax=λx が成り立つことです。
この式は、単位行列を E とすると (A-λE)x=0
と書くことができ、x の一次方程式です。
一次方程式の解には、
確定・不定・不能の場合がありますが、
この方程式が確定の場合であれば、x=0 となって、
x は固有ベクトルになりません。
つまり、λ が固有値であるとは、
x の一次方程式が不定の場合になるように
λ の値を選んである ということです。
だから、方程式のいくつかの列は冗長で、
解 x は、自由バラメータを持つようなものになるのです。
要するに、3x+3y=0 の式は無視してかまわない
ということです。

お礼

ありがとうございます

いま思考を整理中です。。。
んー

回答No.1

haragyatei

固有ベクトルを満たす方程式は固有ベクトルのノルムは任意です。だから先ほどの方程式にたとえば　x^2+y^2=1　を加えて解けばいいのです。どんな値のノルムでもよければx=1としてy=-1も固有ベクトルです。

補足

回答ありがとうございます。
すみません、ノルムって初めて聞きました。
何か参考になるサイトないでしょうか？