最尤推定量について

質問

ラプラス分布の最尤推定量は標本中央値らしいのですが
導けません。導き方を教えてください。

密度関数を
f(x)=｛exp(-|x-θ|)｝/2

とします。よろしくお願いいたします。

回答No.1

noname#227064 · ベストアンサー

そのラプラス分布に従う確率変数をXi(i=1～n)とすると、対数尤度は
log Πf(xi) = log Π{exp(-|xi-θ|}}/2
= -Σ|xi-θ|-nlog2
= -Σ√(xi-θ)^2-nlog2
となり、これをθについて微分すると、
(d/dθ){log Πf(xi)} = Σ(xi-θ)/√(xi-θ)^2 = Σsgn(xi-θ)　(xi≠θ)
ここで、sgn(xi-θ)はxi-θが正なら1、負なら-1、0なら0となる関数を意味します。
θが中央値のとき
Σsgn(xi-θ) = 0
となるので、中央値が最尤推定量であることがわかります。

お礼

ありがとうございます。
とても丁寧で分かりやすかったです。

助かりました。ありがとうございました。