最尤推定量

質問

ベルヌーイ試行のときに、r回目の試行で初めて成功する確率は幾何分布で与えられる。成功したら次の回に移る実験をn回行った結果、実験iではri回目(i=1,2,...,n)の試行で初めて成功というデータが得られた。このデータを用いて幾何分布のパラメタ最尤推定量をもとめよ。

ベルヌーイ試行とはナンですか？
そしてこの問題は何を意味しているのか？
最後に求最尤推定量とはどうすれば求められるのか？
私にはこの問題がさっぱりわかりませんでした。どなたかわかりやすく教えてください。お願いします。

回答No.1

takayuki_kato

「自然科学の統計学」（東京大学出版会）によると，

　独立性・定常性・二値性の3条件を満足する試行系列をベルヌーイ試行（Bernoulli trial）と呼ぶ。

とあります。つまり，

・n-1回目の結果がn回目の結果に影響しない。：独立性
・n-1回目とn回目とで○になる確率が変化せず，常に一定である。：定常性
・結果がYes-No,○-×など2通りで与えられる（3通り以上の結果が与えられない）：二値性

とみたすようなものがベルヌーイ試行です。具体的にいえば，

・コイントスはベルヌーイ試行ですね。何回目のトスであってもその回に表が出る確率は0.5ですし（定常性ＯＫ），当然1回目表が出たからといって2回目表が出る確率が増えたり減ったりしませんし（独立性ＯＫ），結果は表・裏の2通りしかない（二値性ＯＫ）でしょう。
・ジャンケン，サイコロなんかはベルヌーイ試行ではないですね。ジャンケンは勝ち・負け・あいこの3つの結果が，サイコロは１～６までの6通りの結果があり，いずれも二値性を満たさないからです。
・n本のうち，m本のあたりがあるくじをひくとき，１回ひくごとにそのひいたくじを戻していけばそれはベルヌーイ試行になります。しかし，戻さないというルールであれば，それはベルヌーイ試行ではありません。なぜなら，１回目にあたりをひく確率はm/nですが，１回目あたりをひいたとすると２回目あたりをひく確率は(m-1)/(n-1)となり，１回目と２回目とで当たる確率が違う，つまり独立性と定常性を満たさないからです。

という風にイメージしていただければわかりやすいのではないかと思います。ベルヌーイ試行の意味についてはお分かりいただけたでしょうか？いろいろ例を考えてみるとわかりやすいように思います。
　最猷推定量については…他の方の回答を待つか，あるいはしばしお待ちください。

お礼

具体例で教えてもらってとてもよくわかりました。回答ありがとうございました。